|
|
|
|
|
НЬЮТОНА БИНОМ |
Большая советская энциклопедия (БЭС) |
название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
0116355872.tif
(1)
(1) где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3; при n = 4 получают (а + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при an-kbk обозначается так: 0198345570.tif или Cnk. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См. Комбинаторика): Cnkесть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) n+1; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)4. Вообще:
0167071597.tif
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона (См. Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См. Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение 0120366923.tif , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).
|
Мультимедийная энциклопедия |
название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы
двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в
1664-1665:
Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n -
положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом r >
n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех
остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный)
ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в
начале 19 в. Н. Абелем.) Такие частные случаи, как (a + b)2 = a2 + 2ab +
b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 были известны задолго до Ньютона.
Если n - положительное целое число, то биномиальный коэффициент при an -
rbr в формуле бинома есть число комбинаций из n по r, обозначаемое Crn или
(nr). При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника
Паскаля:
в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних
чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка
треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения
n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3.
См. также
<<АЛГЕБРА>>;
<<ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ>>;
<<РЯДЫ>>. |
|
|
|
Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:
будет выглядеть так: НЬЮТОНА БИНОМ
будет выглядеть так: Что такое НЬЮТОНА БИНОМ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|