 |
 |
|
 |
|
|
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ |
| Большая советская энциклопедия (БЭС) |
совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом (См. Аксиома), посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и ¬ А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & ¬ А В («из противоречия следует любое утверждение»), Н. равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.
Н., необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой «содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей «классических» направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории (См. Моделей теория)) Н. служит если и не обоснованием «существования» описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией «ситуация» лежит вне самой теории, данное выше понятие Н., которое можно назвать «внутренней» (иначе —синтаксической, или логической) Н., тесно связано с так называемой «внешней» (семантической) Н., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею «действительности». Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н. равносильны лишь для таких «бедных» логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н. сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией «действительности» может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н. исходной теории можно понимать как её относительную Н., а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (См. Интерпретация) (модель) исходной теории, оказывается для неё доказательством относительной Н.
В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счёте Множеств теория. Однако обнаружение в теории множеств Парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н., — в некотором смысле «абсолютных». (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н.) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н. только для аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н. конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого её фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный «универсум» (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации (См. Формализация), а полученные формальные системы (исчисления) (См. Формальная система) исследовались бы на предмет их синтаксической Н. так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н. составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (См. Метаматематика) (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н. и полноты (См. Полнота) оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н. по-прежнему остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.
Ю. А. Гастев.
|
| Идеографический словарь |
^ согласованность
^ логический
непротиворечивость - логическая согласованность;
отсутствие противоречий; непротиворечие; условие существования.
непротиворечивый (# теория).
последовательность. последовательный (# вывод).
логичный (# упрек).
обоснованный.
выдержанный (# идеология).
v консонанс (муз).
система, гармония, полнота
см. отсутствие, противоречие |
| Орфографический словарь Лопатина |
| непротивореч`ивость, непротивореч`ивость, -и |
| Социологический Энциклопедичечкий Словарь |
| НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ - англ. non-contradiction; нем. Widerspruchsfrei. Критерий правильного логического мышления, означающий, что в суж - дении, доказательстве, теории нет противоположных или противоречивых утверждений об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. |
| Философский словарь |
| одно из осн. требований, предъявляемых к знанию, в частности к научному знанию: в каждой относительно обособленной системе знания не могут одновременно выводиться нек-рое предложение и его отрицание. Нарушение этого требования той или иной научной теорией приводит к ее разрушению, т. к. в ней оказывается возможным доказать любое предложение. Диалектический закон единства и борьбы противоположностей, означающий необходимость раскрытия объективных противоречий развития объектов, и требование Н. знания не исключают друг друга. Положение о логической Н. касается способа представления знания и требует последовательности рассуждения (Противоречия закон. Непротиворечивость аксиоматической теории). |
| Философский энциклопедический словарь |
| НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ – в логике одно из осн. требований к формальным теориям и вообще к научному знанию. В каждой относительно обособленной теории (или системе знания) не могут одновременно выводиться некоторое предложение и его отрицание. Нарушение этого требования делает возможным в такой теории доказательство любого предложения и приводит к потере ею своей научной ценности, т.е. фактически к ее разрушению. Положение о логической непротиворечивости требует неукоснительной последовательности рассуждения. |
| Философский энциклопедический словарь 2 |
совместимость, корректность, выполнимость, свойство системы предложений к.-л. теории (или системы формул некоторого исчисления), заключающееся в том, что из этих предложений (формул) с помощью логич. средств данной теории (соответственно правил вывода данного исчисления) нельзя вывести противоречие, т. е. пару предложений, каждое из которых является отрицанием другого (в формальных исчислениях — формулу А&А, т. е. конъюнкцию произвольной формулы А и её отрицания, интерпретируемую как «А и не-А»). Термин «Н.» употребляют преим. по отношению к совокупности некоторых (содержательно понимаемых или формальных) аксиом или же по отношению ко всей теории (исчислению), базирующейся на данных аксиомах, т. е. к совокупности всех предложений (формул), выводимых из них. Применительно к широкому классу теорий и исчислений, для которых справедлив принцип «из лжи следует любое предложение» или к.-л. его формальный аналог (напр., импликация А&А В), Н. равносильна наличию хотя бы одного невыводимого предложения (недоказуемой формулы). Это свойство, с одной стороны, показывает важность понятия Н. (не обладающие свойством Н. противоречивые теории действительно некорректны, тривиальны, бессодержательны, поскольку любое их предложение — как содержательно истинное, так и содержательно ложное — равно оказывается «доказуемым», т. е. понятие доказательства в них совершенно обесценивается), а с другой — может быть положено в основу самого понятия Н., позволяя определить его как наличие в данной системе хотя бы одного недоказуемого предложения (или формулы). Каждая содержат. логич. или математич. теория предполагается непротиворечивой. Однако обнаружение парадоксов (антиномий, противоречий) в теории множеств (а следовательно, и во всей базирующейся на ней т. н. классич. математике) показало нетривиальность проблемы Н., её важность, трудность и глубину для логики и математики. Трактовка понятия Н. и пути разрешения связанных с ним трудностей существенно различны в различных школах оснований математики и логики.
см. Логицизм, Формализм, Интуиционизм, Конструктивное направление.
см. также статьи Аксиоматический метод, Метатеория и лит. к ним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
|
