ЭКСТРЕМУМ

Большая советская энциклопедия (БЭС)

(от лат. extremum — крайнее)
        значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + , x0 — ) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), f (x) [соответственно, f (x0) f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) [или f (x0) << f (x)] при х x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э. в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f`(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x0) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f'(x) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x0 максимум; если f'(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f (x) не имеет Э. в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x0 имеет п последовательных производных, причём f'(x0) = f``(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a f (n)(x0)0, то при п нечётном f (x) не имеет Э. в точке x0, а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x0) > 0, и максимум, если f (n) (x0) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).
         Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'x = f'y = 0,
         = f'' xx f'' уу > 0,
         то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f''xx < 0 и минимум при f''xx > 0); Э. в точке М не существует, если < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).
         Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы
         ni, k=1 aikxixk
         где aik — значение f''xixk в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.
         Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление).
         Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
         0223363700.tif
        Рис. 1. к ст. Экстремум.
         0201408021.tif
        Рис. 2. к ст. Экстремум.
         0240761990.tif
        Рис. 3. к ст. Экстремум.
         0227394941.tif
        Рис. 4. к ст. Экстремум.

Современная Энциклопедия

ЭКСТРЕМУМ (от латинского extremum - крайнее), общее название максимума и минимума.

Орфографический словарь Лопатина

экстр`емум, экстр`емум, -а

Социологический Энциклопедичечкий Словарь

ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum - крайнее) - англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек-рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом.

Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:

будет выглядеть так: ЭКСТРЕМУМ

будет выглядеть так: Что такое ЭКСТРЕМУМ