ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Большая советская энциклопедия (БЭС)

I
Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие)
        в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение
         y = f (x0 + x) - f (x0)
        функции f (x) можно представить в виде
         y = f' (x0) x + R,
        где член R бесконечно мал по сравнению с х. Первый член
         dy = f' (x0) х
        в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного x, а равенство
         y = dy + R
        показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения y.
         Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.
         Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к Функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).
         Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству
         L (x' + х'') = L (x') + L (x'')
        для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид
         L (x) = a1x1 +... + anxn,
        где a1,..., an — постоянные. Приращение
         L = L (x + h) - L (x)
        линейной функции L (x) имеет вид
         L = L (h),
        т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение f = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде
         f = L (h) + R (h),
        где остаток R (h) при h > 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения f и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.
         В случае f (x) x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.
         Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:
         df (x; h).
        Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения
         df (x + h2; h1) — df (x; h1),
        где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:
         d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).
         Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.
         В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются f и 2f.
         Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
         Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.
         А. Н. Колмогоров.
II
Дифференциал
        Дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.

Современная Энциклопедия

ДИФФЕРЕНЦИАЛ (от латинского differentia - разность, различие), одно из основных понятий дифференциального исчисления.

Орфографический словарь Лопатина

дифференци`ал, дифференци`ал, -а

Словарь Ожегова

ДИФФЕРЕНЦИ’АЛ, -а, муж.
1. В математике: линейная функция, приближенно равная нек-рой функции в окрестности какой-н. точки. Д. функции.
2. Механизм, дающий возможность расположенным на одной оси колёсам, вращающимся деталям двигаться с разной скоростью для совместной работы (спец.).
прил. дифференциальный, -ая, -ое (к 1 знач.). Дифференциальное исчисление. Дифференциальное уравнение.

Словарь Ушакова

ДИФФЕРЕНЦИ’АЛ, см. ДИФЕРЕНЦИАЛ.

Толковый словарь Ефремовой

[дифференциал]
м.
1) Произвольное приращение независимой переменной величины; главная - линейная - часть приращения зависимой переменной величины, пропорциональная приращению независимой переменной (в математике).
2) Устройство, обеспечивающий вращение с разными скоростями ведущих колес автомобиля, трактора и т.п. при поворотах (в технике).

Научнотехнический Энциклопедический Словарь

• ДИФФЕРЕНЦИАЛ, в математике - малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной. Если обозначить функцию х как f(x), то дифференциал функции, образующийся вследствие небольшого изменения х (обозначим dх), записывается как df и задается в видe f'(x)dx, где f'(x) - ПРОИЗВОДНАЯ от f(x).
• ДИФФЕРЕНЦИАЛ, в технике - набор круглых ШЕСТЕРНЕЙ в транспортном механизме, которые передают энергию от двигателя на колеса. Когда автомобиль огибает угол, дифференциал позволяет наружному (по отношению к углу) ведущему колесу вращаться быстрее, чем внутреннему.
Дифференциал авшмобиля передает вращательное дви жение, создаваемое двигаге-лем, под прямым углом на полувалы (6), приводящие в движение колеса. Зубчатое колесико (2) вала (1) вращав! храповое колесо (3), которое проворачивает зубчатое коле со(4)конических передач (5) Шестерни дифференциала позволяют колесам вращаться с разной скоросгью при ново ротах автомобиля: наружное копесо вращается быстрее, чем внутреннее.

Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:

будет выглядеть так: ДИФФЕРЕНЦИАЛ

будет выглядеть так: Что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛ