СУММИРОВАНИЕ

Большая советская энциклопедия (БЭС)

        расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы Ряда (соответственно значения Интеграла), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд 0134718468.tif суммируется к S, а ряд 0131848243.tif суммируется к Т, следовало, что ряд 0101001265.tif суммируется к S + T, а ряд 0178762173.tif суммируется к S — ао. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., то есть методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда
         0189764983.tif (1)
        умножается на некоторый множитель n (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд
         0158506904.tif (2)
        с суммой (t). При этом множители n (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел n (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом (t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Например, если положить n (t) = 1 При n t и n (t) = 0 при n > t и брать t > , то получится обычное понятие суммы ряда; при n (t) = tn для t < 1 и t > 1 получается метод Абеля — Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на n (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают
         0128324306.tif ,
         где
         0189657215.tif , 0124618348.tif .
        Этот метод соответствует выбору n (m) = (m - n + 1)/(m + 1) при n m и n (m) = 0 при n > m. Если положить
         0173658261.tif , 0192427821.tif ,
         0103052134.tif , 0149981390.tif ,
        и если существует 0168696740.tif , то говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k-го порядка. С ростом k возрастает сила метода Чезаро, то есть расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля — Пуассона и притом к той же сумме. Например, ряд 1— 1 + 1 —... + (—1) n-1 +... суммируется методом Абеля — Пуассона к значению 1/2, так как
         0160968689.tif , 0135748430.tif .
        Метод Чезаро даёт то же значение, так как
         s2n= 1, s2n+l = 0, 2n = (n + 1)/(2n + 1),
         2n+1 = 1/2, 0145277272.tif .
        Методы Чезаро и Абеля — Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля — Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть pn 0, p0= 0, 0124288724.tif ; обобщённой суммой ряда, по Вороному, называется предел
         0137077199.tif .
        Метод Вороного регулярен, если
         0123130806.tif .
        В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||атn|| (где атn = 0 при n > m) для того, чтобы метод С., определяемый формулой 0162133672.tif , 0192930074.tif был регулярен. Польский математик Х. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.
         В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрических рядов был предложен С. Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.
         Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Например, если интеграл
         0147533498.tif
        расходится и существует предел
         0181412280.tif ,
        то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка .
         Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1—2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.

Орфографический словарь Лопатина

сумм`ирование, сумм`ирование, -я

Толковый словарь Ефремовой

[суммирование]
ср.
Процесс действия по знач. несов. глаг.: суммировать.

Научнотехнический Энциклопедический Словарь

СУММИРОВАНИЕ (обозначение), в математике, нахождение суммы последовательности или группы чисел, бесконечного РЯДА членов.

Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:

будет выглядеть так: СУММИРОВАНИЕ

будет выглядеть так: Что такое СУММИРОВАНИЕ