 |
 |
|
 |
|
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ |
| Большая советская энциклопедия (БЭС) |
детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.):
0102618428.tif (1)
(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида
± a1a2...an. (2)
В этой формуле , , ..., есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка , , ..., чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам , , ..., чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О. содержит n! членов, из которых 1/2n! берётся со знаком + и 1/2n! со знаком –. Число n называется порядком О.
О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:
0124248257.tif (3)
(или, сокращённо, в виде |aik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:
0165431295.tif = a11a22 – a12a21,
0183678294.tif
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.
О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: 0167124420.tif равен площади параллелограмма, построенного на векторах a1 = (x1, y1) и a2 = (х2.у2), а 0129003418.tif равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a1 = (x1, y1, z1), a2 = (x2, у2, z2) и а3 = (х3, y3, z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения (См. Линейное уравнение)). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
0167939915.tif (4)
Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik|, а в числителе — О., получаемый из |aik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хт) числами b1, b2, ..., bn. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
0147547223.tif
решение даётся формулами
0125167133.tif ; 0188526547.tif .
Если b1 = b2 = ..., = bn = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (х3, y3, z3), может быть записано в виде:
0108093205.tif = 0.
О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:
1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:
0195685798.tif = 0156993018.tif ;
2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:
0127519069.tif = – 0168177435.tif ;
3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:
0145100455.tif = 0;
4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:
0127577234.tif = k 0179808238.tif ;
5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:
0156591550.tif = 0166224390.tif + 0153928175.tif ;
6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:
0137878092.tif
= 0104241905.tif ;
7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:
0135433360.tif = ai1A i1 + ai2Ai2 + ...+ainAin.
Коэффициент Aik, стоящий при элементе aik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента aik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: Aik = (–1)i + kDik, где Dik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу aik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:
0185143095.tif
= –a12 0166959120.tif + a22 0111305309.tif – a32 0187745895.tif .
Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n3 арифметических операций).
Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.
В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (Якобиан)
0144702715.tif .
Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х1, x2, ..., хп к переменным
y1 = f1(x1, ..., xn),
y2 = f2(x1, ..., xn),
………………….
yn = fn(x1, ..., xn).
Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ..., xn).
Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:
0184009163.tif (5)
(односторонний бесконечный О.) и
0159454376.tif
(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.
0100235378.tif
при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.
Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.
Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.
|
| Мультимедийная энциклопедия |
| или детерминант, - в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в
соответствие которой ставится другое число ("значение" определителя).
Очень часто под понятием "определитель" имеют в виду как значение
определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно
записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных
уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие
определителей приписывают японскому математику С. Кова (1683) и,
независимо, Г. Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.
Бине, О. Коши и К. Якоби в начале 19 в.
Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и
расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе
говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель
значение которого равно 2*5 - 3*1 (т.е. 10 - 3 или 7). В общем случае
определитель 2-го порядка принято записывать в виде
а его значение равно a1b2 - a2b1, где a и b - числа или функции.
Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х
строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из
n2 элементов, и обычно его записывают как
Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй - номер
столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij - элемент
i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде
|aij|.
Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при
вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по
"минорам". Минором, соответствующим любому элементу определителя,
называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного
вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.
Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя
"Алгебраическим дополнением" элемента называется его минор, взятый со
знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном
выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 +
2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его
минору, взятому со знаком минус, т.е.
Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или
любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель
разложенный по первому столбцу, имеет вид
а его разложение по второй строке, имеет вид
Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в
том, что оба выражения совпадают.
Значение определителя. Под значением определителя
принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.
В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел
1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и
минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n!
членов, половина которых берется со знаком плюс, половина - со знаком
минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и
каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с
выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.
Свойства определителя. Среди наиболее важных свойств определителя
назовем следующие.
(i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и
значение определителя равно нулю:
(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или
пропорциональны, то значение определителя равно нулю:
(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы
поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца,
вторую строку - в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется
транспонированием). Например,
(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки
(или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или
столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере
элементы второй строки умножаются на -2 и прибавляются к элементам первой
строки:
(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель
изменит знак:
(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий
множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:
Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:
Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:
Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:
Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:
Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:
Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой
строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку
сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В
результате получаем:
Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны
нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3)
четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:
Применения. Решение системы уравнений
можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе - на b1, а
затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим
или, если
то
Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай
решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель
будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений
будет
Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются
независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет
проверить, разрешима ли система линейных уравнений.
Определители в аналитической геометрии. Общее уравнение конического
сечения представимо в виде
Определитель
называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару
параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также
<<КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ>>).
Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход - против
часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением
Связь определителей с матрицами. Матрицей называется запись массива
чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными
матрицами; например, определитель матрицы
Если A, B и С - квадратные матрицы и , то |A|*|B| = |C|.
См. также <<АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ>>.
Якобиан. Если x = f (u, v), y = g (u, v) - преобразование
координат, то определитель
называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J
не равен 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования
можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции
от x и y.
См. <<МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ>>. |
| Орфографический словарь Лопатина |
| определ`итель, определ`итель, -я |
| Словарь Ожегова |
ОПРЕДЕЛ’ИТЕЛЬ, -я, муж.
1. Устройство для определения чего-н., а также вообще то, с помощью чего можно что-н. точно определить, установить. Телефон с определителем номера. О. ритма.
2. Книга для справок при определении чего-н. (спец.). О. растений. |
| Словарь Ушакова |
ОПРЕДЕЛ’ИТЕЛЬ, определителя, ·муж. (·книж. ).
1. То, что определяет, выражает собою что-нибудь.
2. Книга, служащая для справок при определении чего-нибудь (научн.). Определитель растений. Определитель грибов.
3. Выражение, составляемое из коэффициентов системы уравнений 1-й степени с несколькими неизвестными для упрощения вычисления корней уравнений (мат.). |
| Толковый словарь Ефремовой |
[определитель]
м.
1) То, что определяет собою что-л.
2) Книга, служащая для справок при определении чего-л. |
|
|
|
 |
Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:
будет выглядеть так: ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
будет выглядеть так: Что такое ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
|
