ЛОГИКА

Большая советская энциклопедия (БЭС)

(греч. logike)
        наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. logos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три основных аспекта: онтологический — «Л. вещей», т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит); гносеологический — «Л. знания», т. е. необходимая связь понятий, посредством которой познаётся «сущность и истина» (Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический, — «Л. доказательств и опровержений», т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность («общезначимость») которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения «сущность и истину» или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии (См. Философия) и диалектической логике (См. Диалектическая логика), последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (которую вслед за И. Кантом иногда называют формальной Л.).
         Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода «каталогизацией» правильных аргументов, т. е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции (См. Дедукция), характерный для т. н. традиционной Л., ядро которой составляла Силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции (См. Индукция). Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивной Л.
         Современная Л. является историческим преемником традиционной Л. и в некотором смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логического рассуждения — т. н. логических «формализмов», или логических исчислений (См. Логическое исчисление), позволяющих сделать логические рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логического мышления в логических исчислениях привело к более адекватному выражению идеи «логоса» как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных «формализмов», приходится порой говорить о различных «стилях логического мышления».
         М. М. Новосёлов.
         История логики. Историческую основу современной Л. образуют две теории дедукции, созданные в 4 в. до н. э. древнегреческими мыслителями: одна — Аристотелем, другая — его современниками и философскими противниками, диалектиками мегарской школы (См. Мегарская школа). Преследуя одну цель — найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного (См. Доказательство от противного), но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас Софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказывающего сформулировал основное правило исчисления высказываний — правило «отделения заключения» (разрешающее при истинности высказываний «если А, то В» и «А» как истинное заключение «отделить» высказывание «В»). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом «повинны» в немалой степени софизмы мегариков, которые привели Аристотеля к поискам логических элементов речи в элементарной сё единице — предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи — как утверждения или отрицания «чего-либо о чём-то», определил «простое» высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила Силлогизма. Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию — силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгорифмизации вывода заключений. Аристотелевская силлогистика положила конец «силлогистике» мегариков, последним представителем которой был Евбулид из Милета, писавший против Аристотеля, автор известных Парадоксов «лжец», «лысый», «куча» и нескольких софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения «о присущем», выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание — импликация — истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия «следует». Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А В («если А, то В») необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если А и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие «В следует из А» полностью определяется понятием материальной импликации, которую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.
         Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков, основанной около 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и Двузначности принцип как онтологическую предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более четко, чем у мегариков, в виде след. предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А1, А2,..., An является истинность импликации (A1 & A2 &... & An) В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы называются доказывающими. В общем случае «доказывающие аргументы» стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь «дедуктивизм» стоиков нашёл себе философского противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура — последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию (См. Аналогия), индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения (См. Обобщение).
         Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводческой и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Гермин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций, Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, Дихотомическое деление и объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена, зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности «Введения» Порфирия Марием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в «Органон», Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия «субъект», «предикат», «связка», в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной Неоплатонизмом, Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи — «Сатириконе» Марциана Капеллы — в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования.
         Логическая мысль раннего европейского средневековья (7—11 вв.), усваивавшего научное наследие античного мира сквозь призму христианского сознания, в творческом отношении значительно беднее эллиноримской. Как самостоятельная наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры (См. Арабская культура), где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схоластическая Л. в собственном смысле — церковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12—13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая («несхоластическая») Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже «Диалектикой» Абеляра, но окончательное оформление она получает к конце 13 — середине 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота (См. Иоанн Дунс Скот), Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама, Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз «универсума речи» и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины «употребляются», и для выражения мысли о самом языке, когда термины «упоминаются» (употребляются автонимно). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между «формой» и «содержанием» суждений. А в связи с задачей однозначного «прочтения» синтаксической структуры суждения средневековой логики неявно используют и понятие «области действия» логических операций (См. Логическая операция). Их учение о «следовании» основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй — нет. Поэтому материальная импликация рассматривается как выражение содержательного, или фактического, следования, а формальная — логического. Средневековые логики открыли многие известные теперь законы Л. высказываний, которая составляла основу их теории дедукции и которая, как и у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий).
         Последующие два столетия — эпоха Возрождения — для дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных привычек схоластики, как Л. «искусственного мышления», освящающую схематизм умозаключений, в которых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: «вместо абстракций — опыт», дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. «естественного мышления», под которой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют вернуть в методологию научной мысли традиционную логическую дедукцию, предварительно освободив её от схоластической философской интерпретации.
         Книги Дзабареллы оказали заметное влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетической философией. Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает права абстракции (См. Абстракция). Он обосновывает потребность в абстракциях, которые бы «восполняли» данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему дедукции в качестве гипотез (См. Индукция), или постулатов, или аксиом, с последующим сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при некотором снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны для картезианской, т. е. опирающейся на методологические идеи Р. Декарта, логики, систематически изложенной в сочинении А. Арно и П. Николя «Логика, или Искусство мыслить» (1662), вошедшей в историю под названием логики Пор-Рояля. В этой книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли.
         Картезианская идея mathesis universalis стала ведущей в Л. середины 17 — начале 18 вв. Особое место в её развитии принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать «всеобщую символику», своеобразный искусственный язык, который был бы свободен от многозначностей, присущих естественным разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогательного международного языка, а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий и суждений, которые могли бы составить «алфавит человеческих мыслей»; эти первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам, должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал, что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм, который позволит провести доказательство всех известных истин и составить тем самым «доказательную энциклопедию».
         С целью реализации этого замысла Лейбниц дал несколько вариантов арифметизации логики. В одном из них каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному — произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора и К. Гёделя (См. Гёдель)).
         К Лейбницу же восходят многие методологически важные фрагменты современной Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества (См. Тождество). Принимая схоластический принцип индивидуации (принцип «внутреннего различия»), положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных на абстракции отождествления.
         Хотя Лейбниц непосредственно не занимался индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности, она нашла отражение в проводившемся им различении «истин разума» и «истин факта»; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирических истин, нужен ещё (сформулированный Лейбницем) Достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности эмпирическими фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного метода.
         Исходным пунктом индуктивной Л. нового времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика — Л., исследующая «обобщающие выводы» как заключения, основанные на установлении причинной связи (см. Причинность) между явлениями, — была разработана Дж. С. Миллем (См. Милль) (1843), который опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля (См. Гершель). Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах русских логиков М. И. Каринского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова). При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей, с одной стороны, и алгебры логики (См. Алгебра логики) — с другой (начиная уже с работ У. С. Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом которой был вопрос о способах обоснования эмпирических заключений о закономерных (регулярных) связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную логику (См. Вероятностная логика), а с другой — вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математической статистике и теории планирования эксперимента.
         Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логической мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной — математической — логики, истоки которой были заключены уже в сочинениях Лейбница. Хотя большая часть логического наследия последнего оставалась неопубликованной до начала 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебрологических методов в Л., в процессе которого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля (См. Буль), немецкого математика Э. Шрёдера, П. С. Порецкого (См. Порецкий) и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.
         Центральной фигурой этого «алгебро-логического» этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин «алгебра логики» был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметические операции, в том числе вычитание и деление, которые оказалось трудно истолковать логически. Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как Логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраическую систему, которая впоследствии получила название «булевой алгебры» (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логическому союзу «или», т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. «обычную», слабую, дизъюнкцию, «булевой алгебры» непосредственно не было). Строгие методы решения логических уравнений были предложены Шрёдером (1877) и Порецким (1884). Многотомные «Лекции по алгебре логики» (1890—1905) Шрёдера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.
         История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели античные комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было известно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейбницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Венна, разработавшего графический аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы.), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристический характер.
         К концу 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, которые преодолели узость чисто алгебраического подхода прежних авторов, осознали значение математической Л. для математиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматическим построением Л., в наиболее чёткой форме можно проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы «Исчисление понятий» (1879), он развил совершенно строгое аксиоматическое построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все основные элементы современных логических исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные переменные, Кванторы (для которых он ввёл специальные символы) и Предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами (См. Логический закон) и правилами логического вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык). Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логической структуры естественного языка и семантики логических исчислений положили начало проблемам логической семантики (См. Логическая семантика). Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов (См. Логика предикатов). Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического Доказательства.
         Фреге употреблял оригинальную символику, которая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Современная система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С некоторыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайтхедом трёхтомный труд «Принципы математики» — труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиоматическое построение Л. в целях логического обоснования математического анализа (см. Логицизм).
         С этого сочинения и начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математической Л. естественно датировать начало современного этапа логических исследований.
         М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.
         Предмет и метод современной логики. Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математические методы. Она стала, по словам Порецкого, математической логикой — Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логических проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математических теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математическое доказательство состоит в последовательном применении тех или иных логических средств к исходным положениям. Но логические средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; «... практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин В. И., Полн. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом историческом этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логические средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на следующем этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения — изменяются логические средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логических средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логических средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для какой-либо данной математической теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию (См. Множеств теория), исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к которой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема). Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой советскими математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логическую природу, что эта трудность обусловлена неполной выявленностью применяемых логических средств и что единственным путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математической науки — математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математическую Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, которая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математической теории путём установления допускаемых логических средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, называются дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.
         Для решения этих проблем в современной Л. применяется метод формализации доказательств — один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.
         Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математическими знаками, знаками для логических связок, применяемых в математике: «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...», «при всяком...», «существует... такой, что...». Всем логическим средствам, с помощью которых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к которым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце которого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.
         Если сопоставление правил вывода применяемым логическим средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.
         Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математической Л. (см. раздел История логики).
         Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде некоторого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.
         Простейшими из логических исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются следующие знаки: 1) т. н. логические переменные — буквы А, В, С,..., означающие произвольные «высказывания» (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логических связок &, , , , означающие соответственно «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...»; 3) скобки, выявляющие строение формул. Формулами в этих исчислениях считаются логические переменные и всякие выражения, получаемые из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков &, или между ними и с заключением всего в скобки. Например, следующие выражения являются формулами:
         1. (А(ВА)),
         2. ((А(ВС)) ((АВ) (АС))),
         3. ((A&B) A),
         4. ((А&. В) В),
         5. (A(B(A&B))),
         6. ((АС) ((ВС) ((АВ) С))),
         7. (А(АВ)),
         8. (B(AB)),
         9. (А(АВ)),
         10. ((AB) ((AB) A)),
         11. (AA).
         В обоих исчислениях высказываний — классическом и интуиционистском — употребляются одни и те же правила вывода.
         Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо какой-либо логической переменной произвольной формулы.
         Правило вывода заключений. Из формул 0162860458.tif и ( image009.gif 0101141380.tif ) выводится формула image010.gif .
         Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок.
         Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классическом исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1—11, в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключенного третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в интуиционистском исчислении формулу (А&А), выражающую закон противоречия.
         Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставив в них формулу А вместо переменной В:
         ((А&А) А), (1)
         ((А&А) А). (2)
         Подставив затем в аксиому 10 формулу (А&А) вместо А, получим
         (((А&А) В) (((А&А) В) (А&А))). (3)
         Подставив далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим
         (((А&А) А) (((А&А) А) (А&А))). (4)
         Применив к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим
         (((А&А) А) (А&А)). (5)
         Применив, наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), получим формулу (А&А), которая, т. о., выводима в интуиционистском исчислении высказываний.
         Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логических переменных, т. е. самого понимания термина «высказывание». При общепринятом истолковании классические исчисления высказываний этот термин понимается примерно как «суждение» в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логических переменных в формулу даёт некоторую логическую комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных, согласно следующим определениям смысла логических связок.
         Суждение вида (Р&Q), называется конъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида (PQ), называется дизъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида (Р Q), называется импликацией суждений Р и Q, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно Q, и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида Р, называется отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.
         Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки «если..., то...». Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида «если Р, то Q», где Р и Q суть некоторые математические суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность Q. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность Q будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации (Р Q).
         Необходимо также подчеркнуть принятое в математической Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция (РQ), по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и Q.
         Формула image009.gif называется классически общезначимой, если истинно всякое суждение, получаемое из image009.gif в результате подстановок любых суждений вместо логических переменных. Классически общезначимой является, например, формула 11. Её общезначимость есть не что иное, как закон исключенного третьего в следующей форме: «если одно из двух суждений есть отрицание другого, то хотя бы одно из них верно». Этот закон выражает основное свойство суждений: быть истинным или ложным. Обычную формулировку этого закона, включающую и закон противоречия, см. в ст. Исключенного третьего принцип (См. Исключённого третьего принцип).
         Нетрудно проверить, что и все аксиомы 1—11 классически общезначимы и что правила вывода в применении к классически общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы классического исчисления высказываний классически общезначимы. Обратное также имеет место: всякая классически общезначимая формула выводима в классическом исчислении высказываний, в чём состоит полнота этого исчисления.
         Иная трактовка логических переменных лежит в основе интуиционистского истолкования исчисления высказываний. Согласно этой трактовке, всякое математическое высказывание требует проведения некоторого математического построения с некоторыми заданными свойствами. Высказывание можно утверждать, коль скоро это построение выполнено. Конъюнкцию (А&В) двух высказываний А и В можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать как А, так и В.
         Дизъюнкцию (АВ) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицание А высказывания А можно утверждать тогда и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом «приведение к противоречию» считается первоначальным понятием.) Импликацию (АВ) можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, которое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.
         Формула image009.gif называется интуиционистски общезначимой тогда и только тогда, когда можно утверждать всякое высказывание, получаемое из image009.gif в результате подстановки любых математических суждений вместо логических переменных; точнее говоря, в том случае, когда имеется общий метод, позволяющий при произвольной такой подстановке получать построение, требуемое результатом подстановки. При этом понятие общего метода интуиционисты также считают первоначальным.
         Формулы 1—10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула 11, выражающая классический закон исключенного третьего, не является таковой.
         В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики (См. Конструктивная математика), уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия Алгоритма. С этой точки зрения закон исключенного третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.
         С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает следующие элементы.
         1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, называется формулами данного языка.
         2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.
         3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы.
         Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы — заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм — единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).
         Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нём не выводима никакая формула image009.gif вместе с формулой image009.gif . Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из главных задач математической Л. Имея в виду охват той или иной содержательно определённой области математики, исчисление считают полным относительно этой области, если в нём выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием иметь для всякого утверждения, формулируемого в данном исчислении, либо его доказательство, либо его опровержение. Первостепенное значение в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя, утверждающая несовместимость требований полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметическое утверждение, формализуемое, но не выводимое в исчислении. Эта теорема, не снижая значения математической Л. как мощного организующего средства в науке, убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить охват математики в рамках одной формальной системы. Надежды такого рода высказывались многими учёными, в том числе основоположником математического формализма (См. Математический формализм) Гильбертом.
         В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система — это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из современных построений логики конструктивной математики. В приложениях математической Л. часто применяются исчисления предикатов — классическое и интуиционистское.
         Математическая Л. органически связана с кибернетикой (См. Кибернетика), в частности с математической теорией управляющих систем и математической лингвистикой (См. Математическая лингвистика). Приложения математической Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в следующем смысле моделирует некоторую формулу image009.gif классического исчисления высказываний. Если схема управляется n реле, то столько же различных пропозициональных переменных содержит image009.gif , и если обозначить через image010.gif i суждение «Реле номер i сработало», то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений image010.gif i вместо соответствующих логических переменных в image009.gif . Построение такой моделируемой формулы, описывающей «условия работы» схемы, оказывается особенно простым для т. н. П-схем, получаемых из элементарных одноконтактных цепей путём параллельных и последовательных соединений. Это связано с тем, что параллельные и последовательные соединения цепей моделируют соответственно дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путём параллельного (последовательного) соединения цепей Ц1 и Ц2, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Ц1 или (и) замкнута цепь Ц2. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам современной техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математической Л., к числу которых в первую очередь относится т. н. проблема минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.
         Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в современных автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практическое значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математической Л., которая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математической Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математической Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами.
         А. А. Марков.
         Научные учреждения и издания. Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР научно-исследовательская работа в области Л. ведётся в основном в научно-исследовательских центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинева, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математических институтов АН СССР и союзных республик, институтами философии, кафедрами Л. университетов и некоторых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непериодических изданиях в форме тематических сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии «Математическая логика и основания математики»), в непериодических изданиях «Трудов Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР» (с 1931), в сборниках «Алгебра и логика» (Новосибирск, с 1962), в «Записках» научных семинаров по Л., в математических и философских журналах. В реферативном журнале «Математика» и в реферативных журналах института научной информации по общественным наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и зарубежных авторов по Л. Из специальных зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монографическая серия «Studies in Logic...» (Amst., с 1965) и журналы: «The Journal of Symbolic Logic» (Providence, с 1936); «Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik» (В., с 1955); «Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung» (Stuttg., с 1950); «Logique et analyse» (Louvain, с 1958); «Journal of philosophical logic» (Dordrecht, с 1972); «International logic review» (Bologna, с 1970); «Studia Logica» (Warsz., с 1953); «Notre Dame Journal of formal Logic» (Notre Dame, с 1960).
         Основную организационную работу, связанную с обменом научной информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Ассоциация символической логики. Ассоциация организует международные конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй — в 1964 в Иерусалиме, третий — в 1967 в Амстердаме, четвёртый — в 1971 в Бухаресте.
         З. А. Кузичева, М. М. Новосёлов.

         Лит.: Основные классические работы. Аристотель, Аналитики первая и: вторая, пер. с греч., М., 1952; Leibniz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем., П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L. — Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schroder Е., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки, Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; Порецкий П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N., Russell B., Principia mathematica, 2 ed., v. 1—3, Camb., 1925—27.
         История. Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. «Приложение»); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1—3, М., 1885—88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М. — Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; Попов П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353—606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1—4, Lpz., 1855—70; Bochenski I. М., Formale Logik, Munch., 1956; Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1—2, Roma, 1956—58; Scholz Н., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg — Munch., 1959; Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; lorgensen J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1—3, N. Y., 1962; Kneale W., Kneale М., The development of logic, 2 ed., Oxf., 1964; Dumitriu A., Istoria logicii, Buc., 1969; Blanche R., La logique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; Berka K., Kreiser L., Logik — Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971.
         Учебные курсы. Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Гжегорчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.
         Некоторые монографии. Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Рейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1—2, В., 1934—39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathematique constructive, Brux., 1971.
         Энциклопедии и словари. Философская энциклопедия, т. 1—5, М., 1960—70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy. v. 1—8, N. Y., 1967; Mala encykiopedia Logiki, Wroclaw — Warsz. — Krakw, 1970.
         Библиография. Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18—20 вв., М., 1955; Ивин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960—1966), «Вопросы философии», 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, «The Journal of Symbolic Logic», 1936, v. 1, № 4; его же, Additions and corrections to «A bibliography of symbolic logic», там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliographische Einfuhrung in das Studium der Philosophie, Bd 3); Brie G. A. de, Bibliographia Philosophica. 1934—1945, Bd 1—2, Brux., 1950—54; Kung G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917—1957, «Notre Dame Journal of Formal Locic», 1962, № 3; Hanggi J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.

Современная Энциклопедия

ЛОГИКА (греческое logike), наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней - классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к систематизации таких способов суждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям - следствиям. Особую роль играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. Смотри также Математическая логика.

Идеографический словарь

^ правило
^ рассуждение
логика - порядок взаимодействий;
механизм мышления; смысловой механизм; теория рассуждений; ход рассуждений;
наука о законах и формах познающего мышления
(железная #. у него # хромает. # событий).
математическая логика.
логистика.
v категорическое суждение.
ассерторическое суждение, суждение действительности.
аподиктическое суждение, суждение необходимости.
предикат - логическая функция, принимающая значения ложь и истина.
традукция.
квантор. | антиномия.
силлогизм.
сорит. | силлогистика.
алогичный, теория, разум
см. противоречие, достоверность, согласованный
программа компьютерная, теория

Орфографический словарь Лопатина

л`огика, л`огика, -и

Словарь Даля

жен., ·*греч. наука здравомыслия, наука правильно рассуждать; умословие. Логик муж. умослов, правильный и здравый мыслитель, знающий науку правильного рассуждения. Логический, логичный, согласный с логикою; здравое, правильное рассуждение. Логистика мат. алгебра.
Логарифмика.
Часть тактики, о передвижении войск. Логомахия жен. словопрение, спор из пустого в порожнее. Логогриф муж. род загадки, в которой слово разлагается по слогам.

Словарь Ожегова

Л’ОГИКА, -и, жен.
1. Наука о законах и формах мышления. Формальная л. Диалектическая л.
2. Ход рассуждений, умозаключений. У этого человека своя л. Женская л. (непоследовательная, непонятная; шутл.).
3. Разумность, внутренняя закономерность чего-н. Л. вещей. Л. событий.
прил. логический, -ая, -ое. Л. вывод. Логическая ошибка.

Словарь синонимов Абрамова

|| железная логика

Словарь Ушакова

Л’ОГИКА, логики, ·жен. (·греч. logike от logos - слово, разум).
1. Наука об общих законах развития объективного мира и познания (филос.). «Логика есть учение не о внешних формах мышления, а о законах развития "всех материальных, природных и духовных вещей", ·т.е. развития всего конкретного содержания мира и познания его, ·т.е. итог, сумма, вывод истории познания мира.» Ленин. Формальная, логика идеалистической философии считает общие понятия и формы познания неизменными, раз навсегда данными. Логика диалектического материализма утверждает, что формы познания меняются вместе с изменением объективного мира, и потому является наукой об историческом развитии человеческого мышления, как отражения в сознании развития объективного мира.
2. Разумность, правильность умозаключений. Говорить с неотразимой логикой.
3. Внутренняя закономерность. Логика вещей. Логика событий. Неумолимая логика истории. В его поступках нет никакой логики.

Словарь эпитетов

Ход рассуждений, умозаключений; убеждение, точка зрения.
Бабская (разг.), безукоризненная, беспощадная, беспристрастная, блестящая, внутренняя, гибкая, дикая (разг.), доказательная, железная, женская, жизненная, здравая, нелепая, неотразимая, несокрушимая, неумолимая, объективная, обывательская, односторонняя, оригинальная, очевидная, предвзятая, примитивная, простая, смелая, смутная, строгая, стройная, сумбурная, твердая, трезвая, убедительная, убогая, устарелая, четкая, ясная. Звериная, куриная, самодурная.

Толковый словарь Ефремовой

[логика]
ж.
1) Научная дисциплина, изучающая способы доказательств и опровержений.
2) Внутренняя закономерность, присущая явлениям природы, общества.
3) Правильный, разумный ход рассуждений, умозаключений.

Этимологический словарь Крылова

Восходит к латинскому logos, означающему "слово, разум" и в свою очередь восходящему к греческому logike.

Социологический Энциклопедичечкий Словарь

ЛОГИКА (от греч. logik - соответствующий рассуждениям) - англ. logic; нем. Logik. 1. Совокупность наук о законах и формах правильного мышления. 2. Разумность, внутренняя закономерность ч.-л., напр., Л. событий.

Новый философский словарь

(греч. logos - слово, рассуждение, понятие, разум)
наука о формах, законах и методах познавательной деятельности; способность правильно (логически) мыслить. С древности замечено важное свойство познающего мышления человека: если вначале высказываются некоторые утверждения, то затем могут быть признаны и другие утверждения, но не любые, а лишь строго определенные. Познающее мышление, т.обр., подчинено некоей принудительной силе, его результаты во многом детерминированы и предопределены предшествующим знанием. Данное свойство широко использовал Сократ в своих диалогах. Умелой постановкой вопросов он направлял своего собеседника к принятию вполне конкретных выводов. (Характеризуя свой метод, Сократ пояснял, что его манера вести беседу подобна тому, что делает акушерка, которая сама не рожает, но принимает роды. Так и он лишь спрашивает других, способствуя рождению истины, самому же ему нечего сказать.) Поэтому свой метод Сократ назвал майевтикой - искусством повивальной бабки.) Ученик Сократа Платон, затем Аристотель сделали детерминированность мышления предметом специального исследования. Результаты Аристотеля особенно впечатляющи. Его успех связан с тем, что он устранил из рассуждений то, что может быть названо их содержанием, сохранив только форму. Этого он достиг, подставив в суждениях вместо названий с конкретным содержанием буквы (переменные). Например, в импликативном рассуждении: "Если все В суть С и все А суть В, то все А суть В". Подход Аристотеля продемонстрировал тот факт, что достоверность результатов различных по содержанию рассуждений зависит не только от истинности исходных положений (посылок), но и от отношений между ними, способа их соединения, т.е. от формы рассуждения. Аристотель сформулировал важнейшие принципы перехода от истинных посылок к истинным заключениям. Впоследствии эти принципы стали называться законами тождества, противоречия и исключенного третьего. Он предложил первую теоретическую систему форм рассуждений - т.н. ассерторическую силлогистику, имеющую дело с суждениями вида "Все А суть В", "Некоторые А суть В", "Ни одно А не есть В", "Некоторые А не суть В". Тем самым он положил начало науке об общезначимых средствах и формах мышления, законах рационального познания. Позже эту науку стали называть Л.Л. не ограничилась выяснением случаев, когда истинность посылок гарантирует истинность заключения. Эта разновидность рассуждений стала предметом одной ее ветви - дедуктивной Л. Но уже Демокрит обсуждает проблему индуктивных умозаключений, посредством которых осуществляется переход от частных утверждений к общим положениям, имеющим вероятностный характер. Особый интерес к индукции проявляется в 17-18 вв. когда быстро стали развиваться опытные науки. Английскому философу Ф. Бэкону принадлежит первая попытка теоретического осмысления индукции, которая, как он думал, способна служить единственным методом познания природных явлений в целях их применения на пользу людям. Дедукти-визм и индуктивизм - главные направления в развитии Л. вплоть до 19 в. Представители рационалистической философии (Декарт, Спиноза, Мальбранш, Лейбниц) отдавали предпочтение дедукции, в то время как представители эмпирической (сенсуалистической) философии (вслед за Ф. Бэконом - Гоббс, Локк, Кондильяк, Беркли, Юм) были индуктивиста-ми. Вольф, предложивший всеобъемлющую, по его мысли, систему философского знания как "науку о всех возможных предметах, насколько они возможны", попытался примирить указанные направления. Будучи, в целом, рационалистом, он, тем не менее, энергично подчеркивал решающее значение индукции и опытного знания в отдельных научных дисциплинах (напр, в физике). Однако вольфианские представления о формах и законах мышления, методах познания, сложившиеся в Л. к 19 в., не смогли удовлетворить потребностей бурно развивающейся науки и общественной практики. Кант и особенно Гегель подвергли критике ограниченность рационалистически-метафизического метода. Перед Л. встала задача выработать средства, которые позволяли бы сознательно подходить к изучению сущностных отношений. Серьезная попытка решить эту задачу была предпринята Гегелем. Его выдающейся заслугой является введение в Л. идеи развития и взаимосвязи. Это позволило ему заложить основы диалектической Л. как теории движения человеческой мысли от явления к сущности, от истины относительной к истине абсолютной, от знания абстрактного к знанию конкретному. На основе категорий, принципов и законов диалектической Л. вырабатываются методологические ориентиры исследования содержания предметов во всем их многообразия и противоречивости. В настоящее время Л. представляет собой достаточно разветвленную научную дисциплину. Ее важнейшим и наиболее зрелым разделом является формальная Л. Свое наименование она получила от предмета, которым занимается с древности, - форм мыслей и рассуждений, обеспечивающих получение новых истин на основе уже установленных, и, в первую очередь, критериев правильности и обоснованности этих форм. Долгое время формальная Л. была известна прежде всего в том виде, который придали ей Аристотель и его комментаторы. Отсюда название, соответствующее данному этапу, - аристотелевская Л. Восходящая к Аристотелю традиция породила также другой равнозначный термин - традиционная Л. Неизменность проблематики и методов ее разрешения в рамках аристотелевской Л. на протяжении многих веков дала основание Канту, впервые употребившему термин "формальная Л.", считать, что за две тысячи лет, прошедших со времени Аристотеля, эта Л. не сделала ни одного шага вперед и имеет по существу законченный характер. Кант и не предполагал, что через какие-то полвека после его смерти начнется "второе дыхание" в развитии формальной Л. Этот качественно новый этап был вызван тем, что проблемы, поставленные исследованием логических оснований математики, было невозможно решить средствами аристотелевской Л. Почти одновременно идут процессы логизации математики и математизации Л. При решении логических проблем активно используются математические методы, создаются логические исчисления. Делаются конкретные шаги по реализации идей Лейбница об использовании вычислительных методов в любой науке. Дж. Буль разрабатывает первую систему алгебры Л. Благодаря работам О. де Моргана, У. Джевонса, Э. Шредера, П.С. Порецко-го, Пирса, Фреге, Дж. Пеано, Рассела создаются основные разделы математической Л., становящейся важнейшей ветвью формальной Л. В 20 в., особенно в 20-е и 30-е, в работах Я. Лукасевича, Э. Поста, К. Льюиса, С. Яськовского, Д. Веб-ба, Л. Брауэра, А. Гейтинга, А.А. Маркова, А.Н. Колмогорова, Г. Рейхенбаха, С.К. Клини, П. Детуш-Феврие, Г. Бирк-гофа и др. закладываются основы неклассических разделов формальной Л.: многозначных Л., модальной, вероятностной, интуиционистской, конструктивистской и др. Л. Переход к числу истинностных значений, большему чем два ("истинно", и "ложно"), составляет одну из характерных особенностей неклассических, или, как их часто называют, нехрисипповых Л. В 1930-е развитие формальной Л. связано с решением многих проблем металогики (греч. meta - после, сверх), изучающей принципы построения и общие свойства формальных систем, например, проблемы непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом, разрешимости, возможностей этих систем выражать содержательные теории и др. Закладываются основы т.наз. "машинного мышления". Исследование указанных проблем ознаменовалось выдающимися открытиями, имеющими важное мировоззренческое и методологическое значение и связанными с именами Тарско-го, К. Геделя, А. Черча. Наибольшую известность получила теорема К. Геделя о неполноте формализованных систем, в т.ч. арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств. В соответствии с этой теоремой, в каждой из таких систем имеются предложения, которые в их рамках нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Тем самым было показано, что ни одна действующая научная теория не может быть втиснута в рамки формализма. А. Черч доказал теорему, согласно которой, не существует алгоритмов для решения многих классов задач, не говоря уже об алгоритме, позволяющем решать любую задачу (об изобретении такого алгоритма мечтали многие выдающиеся логики и математики). Сегодня развитие формальной логики идет в двух основных направлениях: 1) выработка новых систем неклассической Л. (Л. императивов, оценок, вопросов, временной, индуктивной Л., теории логического следования и т.д.), исследование свойств этих систем и отношений между ними, создания их общей теории; 2) расширение сферы применения формальной Л. Важнейший конечный результат, полученный в этом направлении, - то, что формальная Л. стала не только инструментом точной мысли, но и "мыслью" первого точного инструмента - компьютера, непосредственно в роли партнера включенного человеком в сферу решения стоящих перед ним задач. Л. (в сумме всех своих разделов) стала неотъемлемой частью человеческой культуры. Ее достижения используются в самых разнообразных областях деятельности людей. Она широко применяется в психологии и лингвистике, теории управления и педагогике, юриспруденции и этике. Ее формальные разделы являются исходной основой кибернетики, вычислительной математики и техники, теории информации. Без принципов и законов Л. не мыслима современная методология познания и общения. Изучению Л. всегда придавалось большое значение. Уже Парме-нид поучал еще неопытного в философии Сократа: "Твое рвение к рассуждениям, будь уверен, прекрасно и божественно, но, пока ты еще молод, постарайся поупражняться больше в том, что большинство считает пустословием (т.е. оперировании абстрактными понятиями - В.Б.) в противном случае истина будет от тебя ускользать". Как видим, уже в древности понимали, что дисциплина, которой позже было присвоено имя Л., играет прежде всего большую методологическую роль - как средство отыскания истины.
В.Ф. Берков

Философский словарь

см. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА.

Философский энциклопедический словарь

ЛОГИКА (от греч. logos – логос) 1) способность правильно, т.е. логически, мыслить; 2) учение о тождестве и его отрицании (Г. Якоби), учение о последовательности и методах познания (наука логики). В качестве «элементарной формальной логики» она имеет дело с самыми общими свойствами, присущими всем (имеющимся) понятиям. Осн. свойства понятий выражаются в логических аксиомах (см. АКСИОМА). Сначала рассматривается учение о понятии, затем следует учение о суждении и, наконец, умозаключении. Учения о логических аксиомах, понятии, суждении и умозаключении, взятые вместе, образуют чистую логику. Прикладная логика охватывает в традиционной логике учение об определении, о доказательстве, о методе. Ей часто предпосылаются не научно-логические, а теоретико-познавательные, психологические учения о переживании, описании и формулировании (особенно с помощью специального языка, терминологии) и об образовании понятий. Иногда к ней присоединяют учение о системе. Логика (как наука) – лишь учение о мышлении в понятиях, но не о познании посредством понятий; она служит повышению формальной точности сознания и объективности содержания мышления и познания. Основателем западноевропейской логики (как науки) является Аристотель, «отец логики». Слово «логика» появилось впервые у стоиков; они и неоплатоники уточнили отдельные моменты ее, а в эпоху средневековья схоластика разработала ее в мельчайших подробностях, в тонкостях. Гуманизм изгнал из логики схоластику, но обновить ее не мог. Реформация взяла на вооружение логику Меланхтона, Контрреформация – логику Суареса. Поднявшись принципиально над схоластикой, развивал логику Иоганнес Штурм из Страсбурга; более известным стал Пьер Раме. С 17 в. стало заметным влияние на логику сфер мысли, связанных с математикой, причем в геометрическом методе Спинозы оно было меньше, чем у Лейбница, который использовал в логике совершенствующиеся естественнонаучные методы. От Лейбница и математики, а также и от неосхоластики пошла логика школы Вольфа. Кантовская «трансцендентальная логика» есть в действительности критическая теория познания, логика нем. идеализма (особенно логика Гегеля) – спекулятивная метафизика. Шопенгауэр, Ницше, Бергсон и сторонники философии жизни отбросили традиционную логику. В настоящее время логика распалась на множество направлений: 1) метафизическая логика (гегельянство); 2) психологическая логика (Т.Липпс, отчасти В.Вундт); 3) теоретико-познавательная, или трансцендентальная, логика (неокантианство); 4) семантическая логика (Аристотель, Кюльпе, современный номинализм); 5) предметная логика (Ремке, Мейнонг, Дриш); 6) неосхоластическая логика; 7) феноменологическая логика; 8) логика как методология (неокантианство) и логистика, которая находится в центре споров о логике.

Философский энциклопедический словарь 2

        (греч. , от — построенный на рассуждении, от — слово, понятие, рассуждение, разум) формальная, наука об общезначимых формах и средствах мысли, необходимых для рационального познания в любой области знания. К общезначимым формам мысли относятся понятия, суждения, умозаключения, а к общезначимым средствам мысли — определения, правила (принципы) образования понятий, суждений и умозаключений, правила перехода от одних суждений или умозаключений к другим как следствиям из первых (правила рассуждений), законы мысли, оправдывающие такие правила, правила связи законов мысли и умозаключений в системы, способы формализации таких систем и т. п. Представляя общие основания для корректности мысли (в ходе рассуждений, выводов, доказательств, опровержений и пр.), Л. является наукой о мышлении — и как метод анализа дедуктивных и индуктивных процессов мышления, и как метод (норма) мышления, постигающего истину. Задача Л., которую вслед за Кантом обычно наз. формальной Л., исторически сводилась к каталогизации правильных способов рассуждений (способов «обращений с посылками»), позволяющих из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждениязаключения. Известным набором таких способов рассуждений однозначно определялся процесс дедукции, характерный для т. н. традиционной Л., ядро которой составляла силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей умозаключений и демонстративного (доказывающего) мышления вообще предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт не-силлогистич., хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции. Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории, она стала предметом особой теории — индуктивной логики.
        Совр. формальная Л.— историч. преемник традиционной Л. Для неё характерно разнообразие теорий, в которых изучаются способы рассуждений, приемлемые с т. зр. каждой такой теории, а также их формализация, т. е. отображение в логич. исчислениях (формализмах). Логич. исчисления — это системы символов (знаков), заданные объединением двух порождающих процессов: процесса индуктивного порождения грамматически правильных выражений исчисления — его слов и фраз (языка исчисления), и процесса дедуктивного порождения (дедукции) потенциально значимых (истинных) фраз (теорем) исчисления — его фразеологии. Заданием алфавита исходных символов, правил образования в нём языка (его структурных свойств) и правил преобразования его фразеологии (аксиом и правил вывода) логич. исчисление однозначно определяется как синтаксич. система (формальная структура символов). Выбор этой системы как представителя определ. логич. идей и соответственно приписывание её символам значений (интерпретация, или рассмотрение, её как семантич. системы) превращают логич. исчисление в оп-редел. теорию приемлемых способов рассуждений — теорию логич. вывода. Сообразно тому, каков синтаксис логич. теории (её правила преобразования) и её семантика, различают классические, интуиционистские, конструктивные, модальные, многозначные и др. теории логич. вывода.
        Классич. теории исходят из предположения, что любое утверждение можно уточнить таким образом, что к нему будет применим исключённого третьего принцип. Опираясь на этот принцип (см. также Двузначности принцип), в классич. Л. отвлекаются от гносеология, ограничений, вытекающих из невозможности общего (рекурсивного) метода для классич. оценки суждений, согласно которой относительно любого объекта универсума вопрос о принадлежности ему («да») или отсутствии у него («нет») некоторого свойства решается всегда положительно. Интуиционистские (см. Интуиционизм) и конструктивные (см. Конструктивное направление) теории, напротив, придают эффективности (в частности, в смысле общерекурсивности) доказательств (установления свойств) решающее значение. Поэтому в общем случае (для бесконечных универсумов) в этих теориях отказываются от принципа исключённого третьего, исходя из др. предпосылки: чтобы утверждать, надо иметь возможность эффективно проверять свои знания и утверждения. Последнее существенно зависит от возможности восполнения утверждений алгоритмом подтверждения их истинности. Поэтому идея приемлемости рассуждений сопряжена в этих теориях с широко понимаемым (в смысле абстракции потенциальной осуществимости) эмпирич. познанием. Близкую к конструктивной идейную основу имеет и модальная логика, изучающая свойства модальностей — разновидностей отношения субъекта логич. деятельности к характеру его целевой активности или к содержанию высказываемой им мысли (напр., степени убеждённости в сказанном). В свою очередь, исчисления многозначной логики формализуют ещё более широкий подход к оценкам высказываний и объективных событий. Допуская множественность, в частности бесконечную, истинностных оценок (степеней подтверждения, правдоподобия, вероятности), теории многозначной Л. являются обобщениями классич. и модальных теорий, напр. на область индуктивных (статистич.) умозаключений, оставаясь в то же время дедуктивными логич. теориями.
        Каждая из этих логич. теорий включает, как правило, два осн. раздела: логику высказываний и логику предикатов. В Л. высказываний учитываются не все смысловые связи фраз естеств. языка, а только такие, которые не создают косвенных контекстов и позволяют, рассматривая сколь угодно сложные высказывания как функции истинности простых (атомарных), выделять в множестве высказываний всегда истинные — тавтологии, или логические законы. В Л. высказываний отвлекаются от понятийного состава высказываний (их субъ-ектно-предикатной структуры). Сохраняя характер смысловых связей Л. высказываний, в Л. предикатов, напротив, анализируют и субъектнопредикатную структуру высказываний, и то, как она влияет на структуру и методы логич. вывода. Классич. вариант Л. предикатов является непосредств. продолжением традиц. силлогистики (Л. свойств), но в различных исчислениях предикатов субъектно-предикатная структура суждений анализируется с большей глубиной, чем в силлогистике: помимо свойств («одноместных» предикатов), в них формализуются и отношения («многоместные» предикаты; см. Предикат).
        В многообразии логич. теорий выражается многообразие требований, предъявляемых к Л. совр. наукой и практикой. Важнейшим из них является требование в содействии точной постановке и формулировке науч.-технич. задач и разысканию возможных путей их разрешения. Предлагая строгие методы анализа определ. аспектов реальных процессов рассуждений, логич. теории одновременно содействуют и объективному анализу положения вещей в той области знания, которая отражается в соответств. процессах мысли. Т. о., логич. теории не субъективны и не произвольны, а представляют собой глубокое и адекватное отображение посредством символов объективной «логики вещей» на ступени абстрактного мышления.
        По мере использования логич. исчислений в качестве необходимой «техники мышления» собств. идейное содержание логич. теорий совершенствуется и обогащается, а растущие потребности решения науч. и прак-тич. задач стимулируют развитие старых и создание новых разделов Л. Примером может служить обусловленное задачей обоснования математики возникновение метатеории (теории доказательств) — в узком смысле как теории формальных систем, ограниченной рамками финитизма, и в широком — как металогики, воплощающей взаимодействие формальных (синтак-сич.), содержат. (семантич.) и деятельностных (прагма-тич.) аспектов познания. Мн. результаты, относящиеся к взаимоотношению формальных логич. систем и их моделей, а потому имеющие и общенауч. значение, получены как металогич. теоремы (напр., о полноте Л. предикатов первого порядка, о наличии счётной модели у любой непротиворечивой теории, формализуемой в языке предикатов первого порядка, о неполноте формальных систем, включающих арифметику, и ряд др.), раскрывающие гносеологич. подтекст самой Л.
        История логики. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Др. Востока (Китай, Индия), но в основе совр. Л. лежат учения, созданные в 4 в. до н. э. др.-греч. мыслителями (Аристотель, ме-гарская школа). Аристотелю принадлежит исторически первое отделение логич. формы речи от её содержания. Он открыл атрибутивную форму оказывания как утверждения или отрицания «чего-то о чём-то», определил простое суждение (высказывание) как атрибутивное отношение двух терминов, описал осн. виды атрибутивных суждений и правильных способов их обращения, ввёл понятия о доказывающих силлогизмах как общезначимых формах связи атрибутивных суждений, о фигурах силлогизмов и их модусах, а также изучил условия построения всех силлогистич. законов (доказывающих силлогизмов). Аристотель создал законченную теорию дедукции — силлогистику, реализующую в рамках полуформальных представлений идею выведения логич. следствий при помощи некоторого механич. приёма — алгоритма. Он дал первую классификацию логич. ошибок, первую математич. модель атрибутивных отношений, указав на изоморфизм этих и объёмных отношений, и заложил основы учения о логич. доказательстве (логич. обосновании истинности). Ученики Аристотеля (Теофраст, Евдем) продолжили его теорию применительно к условным и разделит. силлогизмам.
        Потребность в обобщениях силлогистики в целях полноты учения о доказательстве привела мегариков к анализу связей между высказываниями. Диодор Крон и его ученик Филон из Мегары предложили параллельные уточнения отношения логич. следования посредством понятия импликации. Диодор толковал импликацию как модальную (необходимую) условную связь, а Филон — как материальную.
        Логич. идеи мегарской школы восприняли стоики. Хрисипп принял критерий Филона для импликации и принцип двузначности как онтологич. предпосылку Л. Идею дедукции стоики формулировали более чётко, чем мегарики: высказывание логически следует из посылок, если оно является консеквентом всегда истинной импликации, имеющей в качестве антецендента конъюнкцию этих посылок. Это исторически первая формулировка т. н. теоремы дедукции, дающей общий метод формального доказательства средствами логики. Аргументы, основанные только на правильной форме дедукции и не исключающие ложность посылок, стоики наз. формальными. Если же привлекалась содержат. истинность посылок, аргументы наз. истинными. Наконец, если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы наз. доказывающими. Последние предполагали понятие о естеств. законах, которые стоики считали аналитическими, отрицая возможность их обоснования посредством аналогии и индукции. Стоич. учение о доказательстве выходило за пределы собственно Л.— в область теории познания, и здесь дедукти-визм стоиков встретил филос. противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура, которая в споре со стоиками защищала опыт, аналогию и индукцию. Эпикурейцы положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции, и сформулировали ряд правил индуктивного обобщения (Филодем из Гадары).
        На смену логич. мысли ранней античности пришла антич. схоластика, сочетавшая аристотелизм со стоицизмом и заменившая искусство свободного исследования искусством экзегезы (истолкования авторитетных текстов), популярной и в «языч.» школе поздних перипатетиков, и в христ. школах неоплатоников. Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания: логич. квадрат (quadrata formula) Апулея из Медавры, реформированный позднее Боэцием; полисиллогизмы и силлогизмы отношений, введённые Га леном; дихотомич. деление понятий и учение о видах и родах, встречающиеся у Порфирия; зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэртия; наконец, ставшая с тех пор общепринятой латинизированная логич. терминология, восходящая к соч. Цицерона и лат. переводам из аристотелевского «Органона», выполненных Боэцием. В этот период Л. входит в число семи свободных искусств, которые Марциан Капелла наз. энциклопедией гуманитарного образования.
        Логич. мысль раннего европ. средневековья беднее эллино-римской. Самостоят. значение Л. сохраняет лишь в странах арабоязычной культуры (аль-Фараби, Ибн Сина, Ибн Рушд), где философия остаётся относительно независимой от теологии. В Европе же складывается в основном схоластич. Л.— церковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетич. Л. к нуждам христ. вероучения. Только после того, как все произв. Аристотеля канонизируются церк. ортодоксией, возникает оригинальная (несхоластич.) ср. век. Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены «Диалектикой» Абеляра, но окончательно она оформляется к кон. 13 — сер. 14 вв. в соч. У. Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота, В. Бурлея (Бёрли), У. Оккама, Ж. Буридана, Альберта Саксонского и др. Именно здесь логич. и фактич. истинность строго разделяются и Л. понимается как формальная дисциплина о принципах всякого знания (modi scientiarum omnium), предметом которой являются не эмпирич., а абстрактные объекты — универсалии. Учение о дедукции основывается на явном различении материальной и формальной, или тавтологичной, импликаций: для первой имеется контрпример, для второй — нет. Поэтому материальная импликация выражает фактическое, а формальная — логич. следование, с которым естественно связывается понятие о логич. законах. У ср.-век. логиков этой эпохи встречается и первая попытка аксиоматизации Л. высказываний, включая модальности. При этом Л. высказываний, как и у стоиков, признаётся более общей теорией дедукции, чем силлогистика. В этот же период, хотя и вне связи с общим течением модернизации логич. мысли, зарождается идея «машинизации» процессов дедукции (Р. Луллий, «Великое искусство» — «Ars magna», 1480).
        Эпоха Возрождения для дедуктивной Л. была эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслит. привычек схоластики, как Л. «искусственного мышления», освящающую схематизм умозаключений, в которых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не знания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: «вместо абстракций — опыт», дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. «естественного мышления» (П. Раме), под которой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон возрождают антич. идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. Лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле («Логич. труды» — «Opera logica», 1578), отстаивают формальную дедукцию как основу науч. метода вообще.
        В нач. 17 в. положение Л. меняется. Г. Галилей вводит в науч. обиход понятие о гипотетикодедуктивном методе: он восстанавливает права абстракции, обосновывает потребность в абстракциях, которые «восполняли» бы данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему логич. дедукции в качестве гипотез, или постулатов (аксиом), с последующим сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Т. Гоббс истолковывает аристотелевскую силлогистику как основанное на соглашениях исчисление истинностных функций — суждений именования, заменяя, по примеру стоиков, атрибутивные связи пропозицивнальными. П. Гассен-ди пишет историю Л., а картезианцы А. Арно и Н. Ни-коль — «Логику, или Искусство мыслить» («La logique ou L'art de penser», 1662), т. н. логику Пор-Рояля, в крой Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли. Сам Декарт реабилитирует дедукцию (из аксиом) как «верный путь» к познанию, подчиняя её более точному методу всеобщей науки о «порядке и мере» — mathesis universalis, простейшими примерами которой он считал алгебру и геометрию. В том же духе работали И. Юнг («Гамбургская логика» — «Logica Hamburgiensis», 1638), В. Паскаль («О геометрич. разуме» — «De l'esprit geometrique»), А. Гейлинкс («Логика...» — «Logica...», ?662), Дж. Сак-кери («Наглядная логика» — «Logica demonstrative», 1697) и в особенности Г. Лейбниц, который идею mathesis universalis доводит до идеи calculus rationator — универсального искусств. языка, формализующего рассуждения подобно тому, как в алгебре формализованы вычисления. Этим путём Лейбниц надеялся расширить границы демонстративного познания, которые до тех пор, по его мнению, почти совпадали с границами математики. Он отмечал важность тождеств. истин («бессодержат. предложений») Л. для мышления, а в универсальном языке видел возможность «общей Л.», частными случаями которой считал силлогистику и Л. евклидовских «Начал». Лейбниц не осуществил своего замысла, но он дал арифметизацию силлогистики, разрешив тем самым совершенно новый для Л. вопрос — о её непротиворечивости относительно арифметики.
        Программа Лейбница не вызвала всеобщего признания, хотя её поддержали Дж. Валлис («Логическое учение» — «Institutio logicae», 1729), Г. Плуке («Филос. и теоретич. описания» — «Expositiones pliilo-sophiae theoreticae», 1782), И. Ламберт («Новый органон» — «Neues Organon», 1764). Благодаря их трудам внутри филос. Л., не связанной с точными методами анализа рассуждений и носящей преим. описат. характер, сложились реальные предпосылки для развития математич. Л. Однако это развитие до сер. 19 в. было приостановлено авторитетами Канта и Гегеля, считавших, что формальная Л.— это не алгебра, с помощью которой можно обнаруживать скрытые истины, что она не нуждается ни в каких новых изобретениях, а потому оценивших математич. направление как не имеющее существ. применения.
        Между тем запросы развивающегося естествознания оживили почти забытое индуктивное направление в Л,— т. н. Л. науки. Инициаторами этого направления стали Дж. Гершель (1830), У. Уэвелл (1840), Дж. С. Милль (1843). Последний, по примеру Ф. Бэкона, сделал индукцию отправной точкой критики дедукции, приписав всякому умозаключению (в основе) индуктивный характер и противопоставив силлогизму свои методы анализа причинных связей (т. н. каноны Бэкона — Милля). Критика эта, однако, не повлияла на то направление логич. мысли, которое наследовало идеи Лейбница. Напротив, скорее как ответ на эту критику (и, в частности, на критику идей У. Гамильтона о логич. уравнениях) почти одновременно появились обобщённая силлогистика О. де Моргана (1847), включившая Л. отношений и понятие о вероятностном выводе, и «Математич. анализ логики» («The mathematical analysis of logic», 1847) Дж. Буля, в котором автор переводит силлогизм на язык алгебры, а совершенство дедуктивного метода Л. рассматривает как свидетельство истинности её принципов. Позднее Буль («Исследование законов мысли» — «An investigation of the laws of thought...», 1854), С. Джевонс («Чистая логика» — «Pure logic», 1864), Ч. Пирс («Об алгебре логики» — «On the algebra of logic», 1880), Дж. Венн («Сим-волич. логика» — «Symbolic logic», 1881), П. С. Порецкий («О способах решения логич. равенств...», 1884) и Э. Шредер («Лекции по алгебре логики» — «Vorlesungen uber die Algebra der Logik», 1890—1905) окончательно опровергли тезис о неалгебраич. характере форм мысли, создав теорию «законов мысли» как вид нечисловой алгебры. Эта реформация в Л. коснулась не только силлогистики (логики классов). В 1877 X. Мак-Колл впервые после схоластов обращается к теории критериев логич. следования и к Л. высказываний, а Г. Фреге («Исчисление понятий» — «Begriffsschrift», 1879) создаёт первое исчисление высказываний в строго аксиоматич. форме. Он обобщает тра-диц. понятие предиката до понятия пропозициональной функции, существенно расширяющего возможности отображения смысловой структуры фраз естеств. языка в формализме субъектно-нредикатного типа и одновременно сближающего этот формализм с функциональным языком математики. Опираясь на идеи предшественников, Фреге предложил реконструкцию традиц. теории дедукции на основе искусств. языка (исчисления), обеспечивающего полное выявление логич. структуры мысли, всех элементарных шагов рассуждения, требуемых исчерпывающим доказательством, и полного перечня осн. принципов: определений, постулатов, аксиом, положенных в основу дедукции. Фреге использует созданный им язык Л. для формализации арифметики. Ту же задачу, но на основе более простого языка, осуществляют Дж. Пеано и его школа («Формуляр математики» — «Formulaire de mathematique», t. 1—2, 1895—97).
        Очевидным успехом движения за математизацию Л. явилось его признание на 2-м Филос. конгрессе в Женеве (1904), хотя в обществ. мнении оно утвердилось не сразу. Гл. идейным противником применения мате-матич. методов к системе логич. понятий был психологизм в логике, который воспринимал математизацию Л. как своего рода возрождение схоластики, менее всего способное поставить логические исследования на научный фундамент. Однако именно в этом своём пункте психологизм оказался антиисторичен. Борьба за математизацию Л. привела к мощному развитию этой науки.
        После «Principle Mathematica» (1910—13) Б. Рассела и А. Уайтхеда — трёхтомного труда, систематизировавшего дедуктивно-аксиоматич. построение классич. Л. (см. Логицизм), создаётся многозначная Л. (Я. Лу-касевич, Э. Пост, 1921), аксиоматизируются модальная (К. Льюис, 1918) и интуиционистская Л. (В. Гливенко, 1928; А. Гейтинг, 1930). Но главные исследования переносятся в область теории доказательств: уточняются правила и способы построения исчислений и изучаются их осн. свойства — независимость постулатов (П. Бер-найс, 1918; К. Гёдель, 1930), непротиворечивость (Пост, 1920; Д. Гильберт и В. Аккерман, 1928; Ж. Эр-бран, 1930) и полнота (Пост, 1920; Гёдель, 1930), появляются классические работы по логической семантике (А. Тарский, 1931) и теории моделей (Л. Лёвенхейм, 1915; Т. Скулем, 1919; Гёдель, 1930; А.И.Мальцев, 1936).
        Начиная с 1930-х гг. закладываются основы изучения «машинного мышления» (теория алгоритмов — Гёдель, Эрбран, С. Клини, А. Тьюринг, А. Чёрч, Пост, А. А. Марков, А. Н. Колмогоров и другие). И хотя выясняется ограниченность этого мышления, проявляющаяся, напр., в алгоритмич. неразрешимости ряда логич. проблем (Гёдель, 1931; П. С. Новиков, 1952), в невыразимости всех содержат, истин в к.-л. едином формальном языке (Гёдель, 1931), а тем самым и невыполнимость лейбницевской идеи создания каталога всех истин вместе с их формальными доказательствами, всё же растёт сирое на применение Л. в вычислит. математике, кибернетике, технике (первоначально в форме алгеб-раич. теории релейно-контактных схем, а затем в форме более общей теории анализа и синтеза конечных автоматов, теории алгоритмов и пр.), а также в гуманитарных науках: психологии, лингвистике, экономике. Совр. Л.— это не только инструмент точной мысли, но и «мысль» первого точного инструмента, электронного автомата, непосредственно в роли партнёра включённого человеком в сферу решения интеллектуальных задач но обработке (хранению, анализу, вычислению, моделированию, классификации) и передаче информации в любой, области знания и практики.
        Аристотель, Соч., т. 2, М., 1978; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с т. зр. совр. формальной Л., пер. с англ., М., 1959; M и л л ь Д ж. С., Система Л. силлогистической и индуктивной, пер. с англ., М., 19142; Гильберт Д.,Аккерман В., Основы теоретич. Л., пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в Л. и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Чёрч А., Введение в ма-тематич. Л., пер. с англ., т. 1, М., 1960; Попов П. С., История Л. нового времени, М., 1960; Маковельский А. О., История Л., М., 1967; С т я ж к и н Н. И., Формирование математич. Л., М., 1967; Математич. теория логич. вывода. Сб. переводов, М., 1967; Карри X. Б., Основания математич. Л., пер. с англ., М., 1969; Марков А. А.,О логике конструктивной математики, М., 1972; Н о в и к о в П. С., Элементы математич. Л., M., 19732; К л и н н С. К., Математич. Л., пер, с англ., М., 1973; ? ей с Р., Модальная Л., пер. с англ., М., 1974; Попов П. С., Стяжкин Н. И., Развитие логич. идей от античности до эпохи Возрождения, М., 1974; Философия в совр. мире. Философия и Л., М., 1974; Ш е н ф и л д Д ж. Р., Математич. Л., пер. с англ., М., 1975; Т а к е у т и Г., Теория доказательств, пер. с англ., М., 1978; Драгалин А. Г., Математич. интуиционизм. Введение в теорию доказательств, ?., 1979; Крайзель Г., Исследования по теории доказательств, пер. с англ., М., 1981; В е г k а К., К г е i s е г L., Logik — Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971; Risse W., Bibliographie logica, Bd 1—4, Hildesheim — N. Y., 1965 — 79.
        M. M. Новосёлов.

Энциклопедия афоризмов

Логика есть анатомия мышления.
•Джон Локк
Логика - это нравственность мысли и речи.
•Ян Лукасевич
Логика - это искусство ошибаться с полной достоверностью.
•Джозеф Вуд Кратч
Логика - смирительная рубашка фантазии.
•Хельмар Нар
Логика - это комод, в котором хранится полезная утварь и очень много ненужной.
•Чарлз Калеб Колтон
Лучшая защита от логики - невежество.
•Келог Олбран
Глупость обычно бывает логична.
•Хуго Штейнхаус
Всякое обобщение ложно, включая и это.
•Автор неизветен
Если окажется, что наша логика неверна, все науки станут поэзией.
•Станислав Ежи Лец
Было бы крайне нелогично руководствоваться в жизни только логикой.
•Лешек Кумор
Если логика говорит вам, что жизнь - пустая случайность, пошлите к черту не жизнь, а логику.
•Шайра Милгром

Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:

будет выглядеть так: ЛОГИКА

будет выглядеть так: Что такое ЛОГИКА