 |
 |
|
 |
|
|
КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ |
| Большая советская энциклопедия (БЭС) |
в математике, математическое мировоззрение, связанное с признанием исследования конструктивных процессов и конструктивных объектов основной задачей математики. К концу 19 в. в математике возникло неконструктивное, теоретико-множественное направление, получившее существенное развитие в трудах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и особенно Г. Кантора. Началось построение теории множеств, претендовавшей на роль фундамента всей математики. В этой теории, в соответствии с изречением Кантора «сущность математики в её свободе», допускался большой произвол при введении «множеств», которые затем рассматривались как законченные «объекты». Однако в начале 20 в. в теории множеств были открыты т. н. антиномии, т. е. противоречия, показавшие, что нельзя любым образом объединить «объекты» в «множества». Попытки преодолеть возникшие трудности были сделаны на пути аксиоматизации теории множеств, т. е. превращения её в аксиоматическую науку наподобие геометрии (см. Аксиоматическая теория множеств). Это осуществляется так, чтобы всё, требуемое для обоснования математики, получалось на основе аксиом, тогда как известные до сих пор антиномии не проходили бы.
Первая попытка в этом направлении была предпринята Э. Цермело, опубликовавшим свою систему аксиом теории множеств в 1908. Известные антиномии теории множеств не проходили в системе Цермело, однако гарантий против появления противоречий не было. Возникла проблема обеспечения непротиворечивости аксиоматически построенной теории множеств. Эту проблему выдвинул и пытался решить Д. Гильберт, основная идея которого состояла в полной формализации аксиоматической теории множеств, в трактовке её как формальной системы (см. в ст. Логика). Задача установления непротиворечивости рассматриваемой теории сводилась бы тогда к доказательству формальной недоказуемости формул определённого вида. Это доказательство должно было быть убедительным рассуждением о конструктивных объектах — формальных доказательствах. Оно, таким образом, должно было укладываться в рамки конструктивной математики (См. Конструктивная математика). Цепь, поставленная Гильбертом, оказалась недостижимой, что было доказано К. Гёделем (См. Гёдель) в 1931. Однако большой интерес представляет предложенное Гильбертом средство — Метаматематика, конструктивная наука о формальных доказательствах, являющаяся частью конструктивной математики. Программу Гильберта можно охарактеризовать как неудавшуюся попытку обосновать теоретико-множественную математику на базе конструктивной математики, в надёжности которой он не сомневался. Самого же Гильберта следует считать одним из основоположников конструктивной математики.
К. н. можно рассматривать как ответвление основанного Л. Э. Я. Брауэром интуиционизма, программа которого состоит в исследовании умственных математических построений. Близость К. н. к интуиционизму проявляется в понимании дизъюнкций и теорем существования, а также в трактовке закона исключенного третьего. Расхождения между этими двумя направлениями состоят прежде всего в том, что конструктивисты, в отличие от интуиционистов, не считают свои построения чисто умственным занятием; кроме того, интуиционисты рассуждают о неких «свободно становящихся последовательностях» и рассматривают континуум как «среду свободного становления», тем самым привлекая к рассмотрению неконструктивные объекты. К. н. в математике привело к построению особой науки — конструктивной математики.
А. А. Марков.
|
| Философский энциклопедический словарь 2 |
в математике и логике, подход в основаниях этих наук, при котором их сфера ограничивается конструктивными объектами и такими рассуждениями об этих объектах, в которых не присутствует идея актуальной бесконечности. Конструктивными наз. объекты, являющиеся либо элементарными знаковыми образованиями (т. е. не построенными из др. знаков), относительно которых предполагается, что они однозначно опознаваемы — различаемы и отождествляемы, как, напр., буквы некоторого алфавита (см. Абстракция отождествления), либо сложными (но обязательно конечными) знаковыми конструкциями, возникающими в результате к.-л. конструктивного процесса. Последний представляет собой основанный в конечном счёте на оперировании с элементарными конструктивными объектами и протекающий по чётким правилам дискретный (по шагам) процесс построения новых конструктивных объектов [примерами объектов, возникающих в конструктивных процессах, являются слова (формулы) в к.-л. алфавите, конечные таблицы и графы, деревья логич. выводов]. Конструктивные процессы задаются либо исчислениями как системами порождающих правил, либо алгоритмами. К. н. в применении к таким процессам допускает абстракцию потенциальной осуществимости (позволяющую, напр., рассуждать о формулах с любым конечным числом знаков, о сколь угодно сложных формальных логич. выводах), но не абстракцию актуальной бесконечности. Это приводит к финитной установке (см. Финитизм), состоящей в отказе от рассмотрения «завершённых» бесконечностей типа множеств всех натуральных, всех действит. чисел, всех формул к.-л. логич. исчисления. В логич. плане подобная установка влечёт отказ от применения исключённого третьего принципа к бесконечным совокупностям объектов, а также отказ от правила снятия двойного отрицания (позволяющего умозаключать от опровержения допущения о несуществовании некоторого объекта к утверждению о его существовании). Эти черты К. н. определяют его отличие от подходов классич. (теоретико-множественной) математики и классич. логики, сближая его с математикой и логикой, реализуемой в системах «искусств. интеллекта».
Конструктивные процессы и соответств. им конструктивистские тенденции неотделимы от истории математики и дедуктивной логики, однако как самостоят. подход К. н. начинает складываться в первые десятилетия 20 в. в связи с концепцией формализма Гильберта и появлением интуиционизма (с которым его сближает ряд общих черт). Чёткий вид К. н. приобрело после возникновения совр. теории эффективной вычислимости (теории алгоритмов) в 30-х гг. Начиная с 40-х гг. в СССР сложилась оригинальная форма К. и., созданная А. А. Марковым и развитая его учениками (Н. А. Шанин и др.).
см. также Конструктивная логика.
M a p к о в А. А., Теория алгоритмов, М.— Л., 1954 (Тр. Математич. института АН СССР, т. 42); его ж е, О логике конструктивной математики, М., 1972; Шанин ?. ?., Ветуп. ст., в кн.: Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математич. анализ, М., 1970, с. 7—76. |
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
|
