АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ |
| Большая советская энциклопедия (БЭС) |
функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,
0177145260.tif
называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,
0160456084.tif
Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y5 + 3ух4 + x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x (если — иррациональное число), показательная ах, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См. Аналитические функции) (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См. Алгебраическая геометрия). Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:
Ро(х, у, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + … +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1)
где Р0, Р1, ..., Pn — какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P0 = const 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.
При n 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...
Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.
|
| Идеографический словарь |
^ аналитическая функция
алгебраическая функция - аналитическая функция, удовлетворяющая алгебр. уравнению (матем).
алгебраическое уравнение. | алгебраические кривые.
порядок, класс кривой - максимальное число касательных, которые можно провести
к данной кривой из произвольной точки плоскости, не лежащей на этой кривой.
алгебраическая геометрия.
Ў линейность, коническое сечение
см. аналитическая функция, в соответствии с |
| Научнотехнический Энциклопедический Словарь |
| АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (алгебраическое уравнение), функция, которую можно записать, используя рациональные степени переменных; например, выражение f(x)=px3+x1/4-2/х является алгебраической функцией. Наоборот, logх является функцией трансцендентной, поскольку она может быть выражена лишь бесконечным рядом чисел. Алгебраической функцией является любое выражение, которое можно записать в виде f(x)=0, где f - алгебраическая функция. Все полиномы являются алгебраическими выражениями. см. также число, ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ. |
|
|
|
