КОЛЬЦО

Большая советская энциклопедия (БЭС)

        алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n, 3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из Многочленов или матриц (См. Матрица), см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.
         Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы К.):
         I. Коммутативность сложения:
        а+b=b+ а.
         II. Ассоциативность сложения:
         а + (b + с) = (а + b) + с.
         III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b—a.
         IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab+ac, (b + с) а = ba + са.
         Перечисленные свойства показывают, что элементы К. образуют коммутативную группу (См. Группа) относительно сложения. Дальнейшими примерами К. могут служить множества; 4) всех действительных чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b; 7) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 10) всех кватернионов (См. Кватернионы); 11) всех чисел Кэли — Диксона, то есть выражений вида + е, где , — кватернионы, е — буква; сложение и умножение чисел Кэли — Диксона определяются равенствами ( + е) + (1 + 1e) = ( + 1) + ( + 1) e, ( + е)(1 + 1e) = (1 — 0108231012.tif 1) + (1 + ) e, где — кватернион, сопряжённый к ; 12) всех симметрических матриц (См. Симметрическая матрица) порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения а•b = 0177562957.tif (аb + ba); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
         Во многих случаях на умножение в К. налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то К. называют ассоциативным (примеры 1—10); если в К. выполняются равенства (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом (пример 11); если в К. выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом (пример 12); если в К. выполняются равенства а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a2 = 0, то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab = ba, то К. называют коммутативным (примеры 1—8, 12). Операции сложения и умножения в К. во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами. Так, элементы К. можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент —а, что а + (—a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8—9, 12—13 можно убедиться, что К. может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля. Ассоциативное коммутативное К. без делителей нуля называют областью целостности (примеры 1—7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком К. возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а0, то К. называют телом (примеры 3—5, 10, 11). Ассоциативное коммутативное тело принято называть полем (примеры 3— 5) (см. Поле алгебраическое). Весьма важны для многих отделов алгебры К. многочленов с одним или несколькими переменными над произвольным полем и К. матриц над ассоциативными телами, определяемые аналогично К. примеров 7 и 9. Многие классы К. всё чаще находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: К. функций и К. операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные тела, применяемые в проективной геометрии; так называемые дифференциальные К. и поля, отразившие интересную попытку применить теорию К. к дифференциальным уравнениям.
         При изучении К. большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение R>R' кольца R на кольцо R', что из а > a', b >b' следует а + b > a' +b' и ab > a'b'. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R' изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.
         Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr) лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а — b принадлежит М. Всё К. разбивается на классы сравнимых элементов — классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют К. — фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R', то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R, и R' изоморфно R/M.
         Среди различных типов К. легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых из Р и r из R определено произведение r также из R, причём ( + ) r = r + r, (r + s)= r + s, () r = (r), (rs) = (r) s = r (s), r = r для любых , из Р и r, s из R, где — единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость), то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа). Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга n2 над Р), К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), К. примера 8 и др.
         Для целых чисел и К. многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых К. главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы К., то есть К., где любому элементу а 0 соответствует неотрицательное целое число n (a), причём n (ab) n (a) и для любых а и b 0 существуют такие q и r, что а = bq +r и либо n (r)          Одним из первых в России теорией К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым К., а именно — к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.
         Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. — Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М. — Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

Орфографический словарь Лопатина

кольц`о, кольц`о, -`а, мн. к`ольца, кол`ец, к`ольцам

Словарь Даля

ср. колечко, кольчико; кольчище, кольчишко; обод. обруч, круг с проемом, дырой; окружность, круглая рамка. Кольцо на палец, бывает гладкое, без насадки; перстень со щитком, с каменьями. Обручальное, венчальное кольцо, которым, по общему обычаю, разменялись жених с невестою. У кольца нет конца. Дом кольцом, кольцо кольцом, полное и порядочное хозяйство, все концы сходятся; взято от выражения двор или крыша кольцом, ·т.е. все ухожи смыкаются, под одну связь и крышу, под одну обвершку, как признак зажиточности.
Кольца мн. род пирожного, пряженое в виде колец; бублики.
Колечки. растение Potentilla anserina, гусиная, гусеница.
Печная вьюшка состоит из кольца или рамы, тарелки и крышки. Без кольца нет конца. У кольца да у венца не найти конца. Ни начала, ни конца, ходи как вкруг кольца! Кольцо вкруг солнца, к ненастью, кольцо вокруг луны, к ветру. Как сейчас с колечка снял. Ты концом, а он кольцом, ты кольцом, а он концом! День кольцом, ночь молодцом, о разбойнике. Двор кольцом: три жердины, конец с концом! Двор кольцом, три кола забито, три хворостины завито, небом накрыто, светом огорожено. Именье идет не в кольцо, а в свайку, не сберегается, проматывается; или: достается сыну, а не дочери. Стоит сто столбов, у ста столбов сто кольцов, у ста колец сто коней, у ста коней по сто узд, у ста узд по сту кистей, у ста кистей сто вестей хмель. Кольцовый, колечный, к кольцу относящийся; кольчатый, из колец состоящий. Кольчатые животные или кольчатка, кольчецы жен., мн. разряд червей, состояших из сплошных колец или звеньев, Annularia. Кольцевидный, -образный, кольцевый, круглый, на кольцо похожий, кольцом. Кольцеобразный спутник Сатурна. Кольчуга жен. броня, кольчатая рубаха, доспех из мелких колец, сеткою; каждое стальное колечко бывает на заклепке, отчего место это и походит на змеиную головку. Кольчугой зовут иногда также кожаный кафтанчий, с зашитою в нем охранною молитвою или заговором. Кольчужный, к кольчуге относящийся, сделанный из колец, колечек. Кольчужник муж. воин в кольчуге.

Словарь Ожегова

КОЛЬЦ’О, -а, мн. кольца, колец, кольцам, ср.
1. Предмет в форме окружности, ободка из твёрдого материала. Связка ключей на кольце. Гимнастические кольца (спортивный снаряд).
2. Украшение такой формы, надеваемое на палец. К. с бирюзой. Руки в кольцах. К. в носу (у нек-рых первобытных народов: мужское украшение, продеваемое в нижнюю часть носа).
3. То, что имеет форму окружности, обода. Годичное к. (слой, ежегодно нарастающий в стволе дерева). Пускать дым кольцами. Трамвайное к. (поворотный круг на трамвайных путях).
4. перен. Положение, когда кто-н. окружён кем-чем-н., замкнут круговой линией чего-н. К. блокады. Вырваться из кольца окружения. Оказаться в кольце любопытных.
уменьш. колечко, -а, ср. (к 1, 2 и 3 знач.).
прил. кольцевой, -ая, -ое (к 1 и 3 знач.). К. трамвайный маршрут (круговой). Кольцевая трасса. Кольцевая дорога.

Словарь синонимов Абрамова

перстень. См. перстень

Словарь Ушакова

КОЛЬЦ’О, кольца, мн. кольца, колец, кольцам, ср.
1. Предмет (·чаще всего из металла) в форме обода, круга, с пустым пространством внутри линии круга. Кольцо для ношения ключей. Взявшись за кольцо, я открыл калитку. Гимнастические упражнения на кольцах.
предмет этой формы, металлический ободок, надеваемый на пальцы рук в качестве украшения или символа брака. Кольцо с брильянтом. Золотое кольцо. Обручальное кольцо.
2. Всё, имеющее форму такого предмета, напоминающее своим видом такой предмет. Локоны, завитые в кольца. Свернуться кольцом. Пускать дым кольцами.

Толковый словарь Ефремовой

[кольцо]
ср.
1)
а) Предмет в форме обода, окружности (обычно из металла или какого-л. другого твердого материала).
б) Предмет такой формы (обычно из драгоценного металла), надеваемый на палец руки в качестве украшения или символа брака.
2)
а) Любой предмет, имеющий форму замкнутого круга или напоминающий ее.
б) перен. разг. Конечный пункт трамвайного, троллейбусного, автобусного маршрута (обычно с поворотным кругом для следования в обратном направлении).
3) Слой древесины, ежегодно нарастающий на стволе некоторых деревьев.
4) перен. Окружение, осада.

Этимологический словарь Крылова

Образовано с помощью уменьшительного суффикса от коло (см. <<колесо>>).

Литературная энциклопедия

звуковой повтор (см. «Повтор звуковой»), располагающийся в начале и в конце данной словесной единицы — строки, строфы и т. д., — или связующий две такие единицы по формуле: «а — а» или «а — 1 — а». Повтор может быть чисто звуковым («Ласково закрыла мгла»), словесным («Гром небес и пушек гром»), строчным: «Свеж и душист твой роскошный венок,
Ясного взора губительна сила, —
Нет, я не верю, чтоб ты не любила:
Свеж и душист твой роскошный венок» (Фет) и т. д. В античной стилистике отдельные формы К. выделяются под особыми названиями (симплока — К. слов, эпаналепсис — К. фраз). В широком смысле К. можно считать вообще всякое композиционное повторение начальных моментов художественного произведения или части его в конце — целиком или с теми или иными видоизменениями. При этом К. может быть и звуковым, и лексическим, и синтаксическим, и чисто смысловым (прямым или контрастным) и т. д. Ср. стихотворение Пушкина «Не пой, красавица», «Слыхали ль вы», Фета — «Мы одни», Блока — «О доблестях, о подвигах, о славе», Казина — «Бреду я домой на Пресню», «Рубанок» и т. д. На К. как определенном композиционном стержне построены такие строфические формы, как рондо (см.), триолет (см.). Пример К. в драме дает «Командарм 2» Сельвинского, где начальная сцена повторяется с изменениями как конечная, и т. д. Пример К. в прозе дает композиционная форма «обрамления». Библиография: Брик О., Звуковые повторы, в издании «Сборники по теории поэтического языка», вып. II, П., 1917; Жирмунский В. М., Композиция лирических стихотворений, П., 1921; Брюсов В., Звукопись Пушкина, «Печать и революция», 1923, № 2, в в отдельном сб. «Мой Пушкин», Гиз, М., 1929. Л. Т.

Воровской жаргон

татуировка на пальцах рук

Рус. арго (Елистратов)

КОЛЬЦО, -а, с.
Водка или пиво «Золотое кольцо».

Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:

будет выглядеть так: КОЛЬЦО

будет выглядеть так: Что такое КОЛЬЦО