 |
 |
|
 |
|
|
ЧИСЛО |
| Большая советская энциклопедия (БЭС) |
I
Число
важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Ч. протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Ч. отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.
Источником возникновения понятия отвлечённого Ч. является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Ч. становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.
С развитием письменности возможности воспроизведения Ч. значительно расширились. Сначала Ч. стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших Ч. Вавилонские клинописные обозначения Ч., так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для Ч. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления (См. Счисление), позволяющая записать любое натуральное Ч. при помощи десяти знаков — цифр (См. Цифры). Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч. принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Ч., воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального Ч. является осознание бесконечности натурального ряда Ч., т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности больших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального Ч. как результата счёта предметов в обиход включаются действия над Ч. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение, Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч. — арифметики (См. Арифметика). В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч., выделяются классы чётных и нечётных Ч., простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч. продолжается и составляет раздел математики, носящий название Чисел теория.
Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).
Вопрос об обосновании понятия натурального Ч. долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Ч. столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода (См. Аксиоматический метод) в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч. Отчётливое определение понятия натурального Ч. на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч. как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч.), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч. в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.
Другое обоснование понятия натурального Ч. базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.
Следует отметить, что перенесение понятия порядкового Ч. на бесконечные совокупности [порядковые Трансфинитные числа и более общо — порядковые типы (см. Множеств теория)] резко расходится с обобщённым понятием количественного Ч.; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.
Исторически первым расширением понятия Ч. является присоединение к натуральным Ч. дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч. связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч. созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч. как о частном при делении двух натуральных Ч., из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).
Дальнейшие расширения понятия Ч. обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.
Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные Ч. окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч. как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.
Ч. целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.
Совокупность рациональных Ч. оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия Ч., заключающееся в переходе от множества рациональных Ч. к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным Ч. т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч., у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно большую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч. как Ч., выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.
В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного Ч. даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Ч. было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.
По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.
Совокупность всех рациональных Ч. свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Ч. разбить на два класса так, что каждое Ч. первого класса будет меньше каждого Ч. второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Ч., а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Ч., нуль и все положительные Ч., квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Ч., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального Ч.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Ч. сопоставляется иррациональное Ч., которое считается большим, чем любое Ч. первого класса, и меньшим, чем любое Ч. верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч., рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.
Обоснование Кантора понятия действительного Ч. отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.
В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Ч., т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч. определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.
Заключительный этап в развитии понятия Ч. — введение комплексных чисел (См. Комплексные числа). Источником возникновения понятия комплексного Ч. явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч. возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч., невыполнимому в области действительного Ч. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч., по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч. Однако комплексные Ч. и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Ч. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч. в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч. в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Ч. начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.
Совокупность всех комплексных Ч. обладает так же, как совокупность действительных Ч. и совокупность рациональных Ч., свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч. обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч. Совокупность всех действительных Ч. (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х2+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.
Наряду с основной линией развития понятия Ч. (натуральные Ч. > рациональные Ч. > действительные Ч. > комплексные Ч.), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Ч. в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч. В современной теории Ч. получили большое значение т. н. р-адические Ч., системы которых получаются из систем рациональных Ч. посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч. — группы (См. Группа), кольца (См. Кольцо), поля (См. Поле), алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа).
Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.
Д. К. Фаддеев.
II
Число
в языкознании, грамматическая категория, обозначающая в предложении количество участников действия (Субъектов и Объектов) с помощью морфологических средств. Основным противопоставлением в категории Ч. является единственность — множественность. В некоторых языках имеется также двойственное Ч. и реже тройственное. С развитием языка двойственное Ч. может разрушаться и поглощаться множественными Ч., как это было в истории славянских языков (например в старославянском языке (См. Старославянский язык) различались единственные, множественные и двойственные Ч.: «ты» — «вы» — «ва»). Среди форм и значений многие Ч. различаются множественное дистрибутивное (когда множество мыслится как состоящее из отдельных предметов, например «листы») и множественное собирательное (когда множество мыслится как единая совокупность, например «листья»). Собирательное значение может выражаться формой единственного Ч. («тряпьё», «вороньё»). Формы множественных Ч. могут также обозначать родовое понятие (родовое множественное Ч.), например «в этой местности водятся волки». Употребление формы множественного Ч. в значении единственного Ч. наблюдается в случаях вежливого множественного Ч. («вы» при обращении к одному лицу) и множественные Ч. величия («мы» в речи царствующих особ). Как независимая категория Ч. свойственно существительным и личным местоимениям, другие Части речи (глагол, прилагательное, прочие разряды местоимений) получают числовые характеристики по согласованию (См. Согласование) (синтаксическое Ч.). Согласование по числу обязательно в индоевропейских языках (См. Индоевропейские языки): «он работает» — «они работают», англ. he works — they work. Однако с разрушением морфологии согласование также может исчезать, например в английском языке уже нет согласования по Ч. между прилагательным и существительным (clever child — «умный ребёнок» — clever children — «умные дети»). Способы выражения множественных Ч. различны: аффиксальное Ч. («стол» — «столы», англ. table — tables), супплетивное Ч. («человек» — «люди»), см. Супплетивизм; ломаное Ч. (араб. radzulun — «мужчина», ridzalun — «мужчины»; изменяется огласовка корня); множественное Ч. с повтором (индонез. оранг — «человек», оранг-оранг — «люди»). В индоевропейских языках форма множественного Ч. обязательна, если существительное имеет при себе количественное слово (десять книг, много книг). В некоторых языках существительное в таких конструкциях употребляется в форме единственного Ч. (венг. konyv — «книга», tiz konyv — «10 книг», sok konyv — «много книг»). Во многих языках Азии и Америки для выражения множественного Ч. существительных в конструкции с числительным используются специальные элементы — классификаторы (нумеративы), различные для разных лексических групп существительных; последние при этом своей формы не меняют (вьетнамский яз. hai con meo — «две кошки», где con — классификатор).
Лит.: Сепир Э., Язык, пер. с англ., М.—Л., 1934; Есперсен О., Философия грамматики, пер. с англ., М., 1958; Реформатский А. А., Число и грамматика, сб.: Вопросы грамматики, М.—Л., 1960; Виноградов В. В., Русский язык, 2 изд., М., 1972.
В. А. Виноградов.
III
Число («Число»,)
государственная налоговая система, введённая в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. «Ч.» сменило откупную систему налогов с завоёванных монголами земель. При великом хане Менгу (1251—59) «Ч.» было введено в Китае, Средней Азии, Иране, Армении, было распространено на русские земли (Северо-Восточная Русь, Рязанское и Муромское княжества, Новгород Великий). Для этого монгольскими чиновниками были проведены переписи населения, которое делилось на десятки, сотни, тысячи и «тьмы» (10 тыс.). Служители церкви из переписи исключались. Лица, проводившие «Ч.», назывались численниками или писцами. Численники переписывали население по домам. Исчисление населения сопровождалось многочисленными злоупотреблениями и вызывало восстания (восстание в Новгороде Великом в 1257). На Руси деление населения по десятичной системе для уплаты налогов или экстраординарных ордынских сборов сохранялось вплоть до 15 в.
Лит.: Насонов А. Н., Монголы и Русь, М.—Л., 1940; Павлов П. Н., К вопросу о русской дани в Золотую Орду, «Уч. зап. Красноярского гос. пед. института», т. 13. Серия историко-филологическая, в. 2, Красноярск. 1958.
|
| Мультимедийная энциклопедия |
| Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы:
натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1,
2, 3 и т.д.), числам, являющимся возможными результатами
(идеализированных) измерений (это такие числа, как 2/3, корень из 3, - их
называют действительными числами), отрицательным числам, мнимым числам
(скажем, к корню из минус 1) и к другим более абстрактным классам чисел,
используемым в высших разделах математики (например, к гиперкомплексным и
трансфинитным числам). Число необходимо отличать от его символа, или
обозначения, которое его представляет. Мы рассмотрим логические отношения
между различными классами чисел (см. также <<ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ>>).
Элементарная арифметика оперирует с положительными целыми числами и нулем,
с дробями, в известной мере с положительными действительными числами,
такими как , и иногда с отрицательными действительными числами. Более
сложные действия над отрицательными и мнимыми числами обычно принято
относить к компетенции алгебры. Правила, осваиваемые при изучении
арифметики, применимы без каких-либо ограничений только к положительным
действительным числам, поэтому некоторые действия, производимые над более
общими классами чисел, часто кажутся загадочными, например
Такие загадки легко разрешаются, если принять во внимание, что различные
классы чисел имеют совершенно различный смысл; хотя у них достаточного
много общего, чтобы их всех можно было называть числами, не следует
думать, что все они будут удовлетворять одним и тем же правилам.
Положительные целые числа. Хотя мы все усваиваем положительные целые числа
(1, 2, 3 и т.д.) в раннем детстве, когда вряд ли приходит в голову
задумываться об определениях, тем не менее такие числа могут быть
определены по всем правилам формальной логики. Строгое определение числа 1
заняло бы не один десяток страниц, а формула типа 1 + 1 = 2, если записать
ее во всех подробностях без каких-либо сокращений, протянулась бы на
несколько километров. Однако любая математическая теория вынуждена
начинаться с некоторых неопределяемых понятий и аксиом или постулатов
относительно них. Так как положительные целые числа хорошо известны и
трудно определить их с помощью чего-то более простого, мы примем их за
исходные неопределяемые понятия и будем считать, что основные свойства
этих чисел известны.
Отрицательные целые числа и нуль. Отрицательные числа в наши дни
вещь обыденная: их используют, например, для того, чтобы представить
температуру ниже нуля. Поэтому кажется удивительным, что еще несколько
столетий назад какой-либо конкретной интерпретации отрицательных чисел не
было, а возникающие по ходу вычислений отрицательные числа назывались
"воображаемыми". Несмотря на то, что интуитивная интерпретация
отрицательных чисел сама по себе полезна, пытаясь понять такие "правила",
как (-4)ґ(-3) = +12, мы должны определить отрицательные числа с помощью
положительных. Для этого нам нужно построить множество таких
математических объектов, которые будут вести себя в арифметике и алгебре
именно так, как можно было бы ожидать от отрицательных чисел. Один из
способов построить такое множество состоит в рассмотрении упорядоченных
пар положительных чисел (a,b). "Упорядоченность" означает, что, например,
пара (2,3) отлична от пары (3,2). Такие упорядоченные пары можно
рассматривать как новый класс чисел. Теперь мы должны сказать, когда два
таких новых числа равны и что означает их сложение и умножение. Наш выбор
определений обусловлен желанием, чтобы пара (a,b) действовала как разность
(a - b), которая пока что определена, лишь когда a больше b. Так как в
алгебре (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d), мы приходим к необходимости
определить сложение новых чисел как (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d); т.к.
(a - b)ґ(c - d) = ac + bd - (bc + ad), мы определяем умножение равенством
(a,b)ґ(c,d) = (ac + bd, bc + ad); а так как (a - b) = (c - d), если a + d
= b + c, мы определяем равенство новых чисел соотношением (a,b) = (c,d),
если a + d = b + c. Таким образом,
Используя определения равенства пар, можно записать сумму и произведение
пар в более простом виде:
Все пары (a,a) равны (по определению равенства пар) и действуют так, как
по нашим ожиданиям должен действовать нуль. Например, (2,3) + (1,1) =
(3,4) = (2,3); (2,3)ґ(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Пары (a,a) мы
можем обозначить символом 0 (который до сих пор не использовали).
Пары (a,b), где b больше a, ведут себя так, как должны были бы действовать
отрицательные числа, и мы можем обозначить пару (a,b) символом -(b - a).
Например, -4 - это (1,5), а -3 - это (1,4); (-4)ґ(-3) = (21,9), или
(13,1). Последнее число хотелось бы обозначить как 12, но это заведомо не
то же самое, что положительное целое число 12, поскольку обозначает пару
положительных целых чисел, а не одно положительное целое число. Необходимо
подчеркнуть, что поскольку пары (a,b), где b меньше a, действуют как
положительные целые числа (a - b), мы будем записывать такие числа как (a
- b). При этом надо забыть о положительных целых числах, с которых мы
начали, и впредь пользоваться только нашими новыми числами, которые
назовем целыми числами. То, что мы намереваемся использовать старые
названия для некоторых новых чисел, не должно вводить в заблуждение
относительно того, что в действительности новые числа представляют собой
объекты иного рода.
Дроби. Интуитивно мы представляем себе дробь 2/3 как результат
разбиения 1 на три равные части и взятия двух из них. Однако математик
стремится как можно меньше полагаться на интуицию и определять
рациональные числа через более простые объекты - целые числа. Это можно
сделать, если 2/3 рассматривать как упорядоченную пару (2,3) целых чисел.
Для завершения определения необходимо сформулировать правила равенства
дробей, а также сложения и умножения. Разумеется, эти правила должны быть
эквивалентны правилам арифметики и, естественно, отличаться от правил для
тех упорядоченных пар, которые мы определили как целые числа. Вот эти
правила:
Нетрудно видеть, что пары (a,1) действуют как целые числа a; продолжая
рассуждать так же, как в случае отрицательных чисел, мы обозначим через 2
дробь (2,1), или (4,2), или любую другую дробь, равную (2,1). Забудем
теперь о целых числах и сохраним их лишь как средство записи определенных
дробей.
Рациональные и иррациональные числа. Дроби принято также называть
рациональными числами, так как они представимы в виде отношений (от лат.
ratio - отношение) двух целых чисел. Но если нам потребуется число,
квадрат которого равен 2, то мы не сможем обойтись рациональными числами,
т.к. не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То же
самое выяснится, если поинтересоваться числом, выражающим отношение длины
окружности к ее диаметру. Следовательно, если мы хотим получить квадратные
корни из всех положительных чисел, то нам необходимо расширить класс
рациональных чисел. Новые числа, называемые иррациональными (т.е. не
рациональными), можно определять различными способами. Упорядоченные пары
для этого не годятся; один из простейших способов состоит в том, чтобы
определить иррациональные числа как бесконечные непериодические десятичные
дроби.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе
называются действительными или вещественными числами. Геометрически их
можно представить точками на прямой, при этом дроби оказываются в
промежутках между целыми числами, а иррациональные числа - в промежутках
между дробями, как показано на рис. 1. Можно показать, что система
действительных чисел обладает свойством, известным как "полнота" и
означающим, что каждой точке на прямой соответствует некоторое
действительное число.
Комплксные числа. Так как квадраты положительных и отрицательных
действительных чисел положительны, на прямой действительных чисел нет
точки, соответствующей числу, квадрат которого был бы равен -1. Но если бы
мы попытались решать квадратные уравнения типа x2 + 1 = 0, то необходимо
было бы поступать так, как если бы существовало некоторое число i, квадрат
которого был бы равен -1. Но поскольку такого числа нет, нам не остается
ничего другого, как воспользоваться "воображаемым", или "мнимым", числом.
Соответственно, "число" i и его комбинации с обычными числами (типа 2 +
3i) стали называться мнимыми. Современные математики предпочитают называть
такие числа "комплксными", поскольку они, как мы увидим, столь же
"реальны", как и те, с которыми нам уже доводилось встречаться раньше.
Долгое время математики свободно пользовались мнимыми числами и получали
полезные результаты, хотя не до конца понимали то, что они делали. И до
начала 19 в. никому и в голову не приходило "оживить" мнимые числа с
помощью их явного определения. Для этого нужно построить некоторую
совокупность математических объектов, которые с точки зрения алгебры вели
бы себя как выражения a + bi, если условиться, что i 2 = -1 . Такие
объекты можно определить следующим образом. Рассмотрим в качестве наших
новых чисел упорядоченные пары действительных чисел, сложение и умножение
которых определяется формулами:
Например,
Назовем такие упорядоченные пары комплксными числами. Пары частного вида
(a,0) со вторым членом, равным нулю, ведут себя как действительные числа,
поэтому мы условимся обозначать их так же: например, 2 означает (2,0). С
другой стороны, комплексное число (0,b) по определению умножения обладает
свойством (0,b)ґ(0,b) = (0 - b2, 0 + 0) = (-b2,0) = -b2. Например, в
случае (0,1)ґ(0,1) мы находим произведение (-1,0); следовательно, (0,1)2 =
(-1,0). Мы уже условились записывать комплексное число (-1,0) как -1,
поэтому если число (0,1) обозначить символом i, то мы получим комплексное
число i, такое, что i 2 = -1. Кроме того, комплексное число (2,3) теперь
можно записать в виде 2 + 3i.
Важное отличие такого подхода к комплексным числам от традиционного
состоит в том, что в данном случае число i не содержит ничего загадочного
или мнимого: оно представляет собой нечто, хорошо определяемое посредством
уже существовавших ранее чисел, хотя, разумеется, и не совпадает ни с
одним из них. Точно так же, действительное число 2 не является
комплексным, хотя мы и используем символ 2 для обозначения комплексного
числа. Так как на самом деле в мнимых числах нет ничего "мнимого", то
неудивительно, что они широко используются в реальных ситуациях, например
в электротехнике (где вместо буквы i обычно используют букву j, так как в
электротехнике i - символ для текущего значения силы тока).
Алгебра комплексных чисел во многом напоминает алгебру действительных
чисел, хотя имеются и существенные различия. Например, правило для
комплексных чисел не выполняется: , поэтому , в то время как .
Определение комплексных чисел как пар действительных чисел подсказывает
способ их наглядного геометрического представления. Хотя прямая не может
вместить и действительные, и комплексные числа, их вполне может вместить
плоскость (см. рис. 2,а). Например, число 2 + 3i представлено точкой
плоскости с координатами (2,3) (см. также <<АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ>>) .
представления: a - в декартовых координатах.
представления: б - в полярных координатах.
Сложение комплексных чисел допускает простую геометрическую интерпретацию.
Например, сумма чисел 2 + 3i и 3 - i есть число 5 + 2i, которому
соответствует четвертая вершина параллелограмма с тремя вершинами в точках
0, 2 + 3i и 3 - i .
Точку на плоскости можно задавать не только прямоугольными (декартовыми)
координатами (x,y), но и ее полярными координатами (r,q), задающими
расстояние от точки до начала координат и угол. Следовательно, комплексное
число x + iy может быть записано и в полярных координатах (рис. 2,б).
Длина радиуса-вектора r равна расстоянию от начала координат до точки,
соответствующей комплексному числу; величина r называется модулем
комплексного числа и определяется по формуле . Часто модуль записывают в
виде . Угол q называется "углом", "аргументом" или "фазой" комплексного
числа. Такое число имеет бесконечно много углов, отличающихся на величину,
кратную 360°; например, i имеет угол 90°, 450°, -270°, ј Так как декартовы
и полярные координаты одной и той же точки связаны между собой
соотношениями x = r cos q, y = r sin q, справедливо равенство x + iy = r
(cos q + i sin q).
Если z = x + iy, то число x - iy называется комплексно сопряженным с z и
обозначается , а в технике z*. Формула z = r2 удобна для вычисления модуля
комплексного числа z, особенно если это число определяется сложной
формулой.
Пользуясь формулами тригонометрии, находим:
Отсюда правило: чтобы перемножить два комплексных числа, необходимо
умножить их модули и сложить их аргументы. В частности, квадрат числа r
(cos q + i sin q) равен r 2(cos 2q + i sin 2q), более общая, n-я степень
того же числа равна rn(cos nq + i sin nq) (формула Муавра). Эта формула
справедлива при надлежащей интерпретации, даже если n - не положительное
целое число. Например,
Следовательно, можно ожидать, что кубический корень из 8i (n = 1/3) будет
равен
Поскольку аргумент числа i можно считать равным и 90° + 360° = 450°, и 90°
+ 360° + 360° = 810°, мы можем найти еще два кубических корня из 8i, а
именно:
и
(рис. 3). Любое комплексное число (кроме нуля) также имеет три кубических
корня (геометрически расположенных в вершинах равностороннего
треугольника) и n корней n-й степени, если n - положительное целое число.
Так как мы можем определить целые степени и корни из комплексных чисел,
можно ввести и любую рациональную степень, например (2 + i)-3/4. Сложнее
определить иррациональные или комплексные степени. Прежде всего необходимо
ввести экспоненциальную функцию. Это можно сделать, используя ее
разложение в степенной ряд
Известно, что если q - действительное число, то eiq определяется этим
степенным рядом и eiq = cos q + i sin q; следовательно, тригонометрическая
форма комплексного числа представима в компактном виде z = reiq. Логарифм
комплексного числа reiq, по определению, равен ln r + iq, где ln означает
логарифм по основанию e, а q принимает все возможные значения, измеряемые
в радианах. Таким образом, комплексное число имеет бесконечно много
логарифмов. Например, ln (-2) = ln 2 + ip + любое целое кратное 2p. В
общем виде степени можно теперь определить с помощью соотношения ab = e b
ln a. Например, i-2i = e -2 ln i. Так как значения аргумента числа i равны
p/2 (90°, выраженное в радианах) плюс целое кратное, то число i -2i имеет
значения ep, e3p, e-p и т.д., которые все являются действительными.
Гиперкомплексные числа. Комплексные числа были изобретены, чтобы
иметь возможность решать все квадратные уравнения с действительными
коэффициентами. Можно показать, что на самом деле комплексные числа
позволяют сделать гораздо больше: с их введением становятся разрешимыми
алгебраические уравнения любой степени даже с комплексными коэффициентами.
Следовательно, если бы нас интересовали только решения алгебраических
уравнений, то необходимость во введении новых чисел отпала бы. Однако для
других целей необходимы числа, устроенные в чем-то аналогично комплексным,
но с бльшим количеством компонент. Иногда такие числа называют
гиперкомплексными. Их примерами могут служить кватернионы и матрицы.
См. также
<<АЛГЕБРА>>;
<<АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ>>;
<<АРИФМЕТИКА>>;
<<ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ>>;
<<МАТЕМАТИКА>>;
ЧИСЛО p;
<<МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ>>. |
| Современная Энциклопедия |
| ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности. В связи со счетом предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах: 1, 2, 3,... Задачи измерения длин, площадей и т.п. привели к понятию рационального (дробного) числа. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые вместе с рациональными числами составляют совокупность действительных чисел. В связи с решением уравнений 1-й степени (линейных уравнений) были введены отрицательные числа, а квадратных уравнений - комплексные числа. |
| Энциклопедия Отечеcтво |
"ЧИСЛО", система налогообложения, введённая в 50-х гг. 13 в. на землях, подвластных Монгольской империи (Китай, Средняя Азия, Персия, Северо-Восточная Русь, Рязанское и Муромское княжества, Новгород Великий и др.). Основана на переписи (исчислении, "числе") населения. Налоги взимались поголовно, пропорционально имуществу плательщиков.
|
| Идеографический словарь |
^ знак
^ выражающий, величина
число - знак, выражающий величину; определенная величина.
числовой. численный.
значение величины.
величина чего.
числовое значение (# функции). количественное значение.
значение переменной - отдельный элемент области изменения;
мгновенная характеристика переменной величины (числовое #).
составлять (# сколько).
объем (# работ. # средств).
цена (# деления шкалы).
числительное.
счетные слова. нумеративы.
именованное число.
отвлеченное число.
балл. очко. разряд.
размерность.
Ў целое число
см. выражать, -ся, некоторое количество |
| Орфографический словарь Лопатина |
| числ`о, числ`о, -`а, мн. ч`исла, ч`исел |
| Словарь Даля |
ср. количество, счетом, на вопрос: сколько и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь. Четное число, что делится на два без дроби. Круглым числом, средним. Число месяца, день, по счету, счетом, начиная с первого до 31-го. Татарове реша: дайте нам число, ·стар. счет населенью, перепись народа. Не с числа говоришь, ·*вят., ·*пермяц. неверно, ошибочно, неправду. Число в число на тот месяц. Книга Чисел, четвертая из пяти книг Моисеевых: счисленье еврейского народа, станов и колен его, в пустыне. Занятия расписаны по числам (месяца). Все числом да счетом. В том числе, в сем счету, в общем количестве. Числовой вывод, в числах, в цифрах, количественный. Числить что, исчислять, считать, рассчитывать,
считать в числе чего, полагать в счет. Его числят, он числится в полку. Вычислить путь планеты. Дочислиться до вывода. Зачислить кого на службу. Исчислить нужды свои. Начислить на кого долг. Отчислять часть доходов в запас. Почислить дело решенным. Перечислить кого в другое ведомство. Он причислен к министерству. Прочислил одну статью, пропустил. Расчислить, почем придется на брата. Арифметики счисляют мудреные задачи. Численье, действие по гл. Численные величины, алг. означенные не буквами, а числами. - люди, ·стар. податные, окладные. Численник ·стар. счетчик, переписчик народа русского, от татар. Говори численно, ·*вят. порядком, правильно, законно, верно. Численность, число, счет чего, количество. Численность населенья все растет. Числитель муж. числящий, исчисляющий что.
Числитель, верхня цифра дроби, означающая, сколько частей взято от целого, разделенного на столько частей, сколько единиц в знаменателе. Числительный, к числителю относящийся; указывающий число чего либо. - имя, грам. слово, означающее счет. Численка жен., ·*тамб., ·*тул. чисменка ·*ниж., ·*пермяц., ·*олон. чисменница ·*костр. в мотке ниток, и в основе ткацкой, зубок; три нитки; десять численок одна пасма; ·*ниж., ·*костр. чисменка четыре нитки или два гнезда; ·*вологод. 20 чисменок, по 3 оборота, одна пасма; местами 40 чисменок пасма, в 120 ниток. Числовед или числослов, арифметик, счетчик. Числословная, числоведная наука, числоведенье, числословие, арифметика, математика, счетная наука. |
| Словарь Ожегова |
ЧИСЛ’О, -а, мн. числа, -сел, -слам, ср.
1. Основное понятие математики величина, при помощи к-рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы). Рациональное ч. Иррациональное ч.
2. День календарного месяца по порядку счёта от начала к концу. В первых числах мая. Какое сегодня ч.? Задним числом пометить или датировать (уже прошедшим, более ранним числом, чем следует). Задним числом сообщить или узнать (позже чем следовало бы; разг.).
3. кого (чего). Количество считаемого, поддающегося счёту. Ч. собравшихся. Значительное ч. ошибок. Отряд числом в двадцать человек (в числе двадцати человек). Большое ч. людей.
4. Состав, ряд, совокупность кого-чего-н. Пополнить ч. участников.
5. В грамматике: категория имени и глагола, специальными системами форм (парадигмами) выражающая единичность или множественность. Единственное ч. Множественное ч.
• В числе кого (чего), предл. с род. в составе какого-н. множества, среди кого-чего-н. Быть в числе лучших.
В число кого (чего), предл. с род. в состав какого-н. множества. Попал в число отстающих.
К числу кого (чего), предл. с род. обозначает включённость в состав кого-чего-н. Принадлежать к числу учеников. Проблема относится к числу наиболее сложных.
Из числа кого (чего), предл. с род. из состава какого-н. множества. Назначить бригадира из числа рабочих.
В том числе (-и), союз со знач. присоединения, включения считая, включая. Пошли все, в том числе и мы.
Без числа о неисчислимом множестве. Звёзд на небе без числа.
Числа нет кому (чему) очень много. Поздравлениям нет числа.
По первое число (попадёт, достанется) кому (прост.). о строгом выговоре, наказании. Влетит тебе от отца по первое число.
прил. числовой, -ая, -ое (к 1 знач.) и численный, -ая, -ое (к 1 знач.; спец.). Числовое программное управление (ЧПУ) (управление механизмами с помощью заранее составленных алгоритмов). Численное решение уравнений. |
| Словарь синонимов Абрамова |
| количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день. Ср. "Величина и Круг". См. день, количество || небольшоечисло, несть числа, расти числом |
| Словарь Ушакова |
ЧИСЛ’О, числа, мн. числа, чисел, числам, ср.
1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 ·знач. ). Теория чисел (отдел математики, изучающий общие свойства чисел).
2. То же, что цифра в 1 ·знач. (·старин. ).
3. Тот или иной день месяца в его порядковом ряду, месте (при названии месяца слово "число" в речи обычно опускается, напр. "первое мая" вместо "первое число мая"). Первого числа (·т.е. в первый день месяца) он возвращается из отпуска. Какое сегодня число? Какого числа твой день рождения? Пометить письмо задним числом (см. задний), завтрашним, вчерашним числом. «Июня третьего числа коляска легкая в дорогу его по почте понесла.» Пушкин. «В последних числах сентября... в деревне скучно, грязь, ненастье.» Пушкин.
4. только ед., кого-чего. Количество (кого-чего-нибудь, считаемого отдельными особями, единицами, штуками). Собралось большое число гостей. Число книг в библиотеке сильно возросло. Круглым числом (см. круглый в 3 ·знач. ). «Хлопочут набирать учителей полки, числом поболее, ценою подешевле.» Грибоедов.
5. только ед. Совокупность, ряд известного количества кого-чего-нибудь. «А смешивать два эти ремесла есть тьма искусников, я не из их числа.» Грибоедов. В числе присутствующих не оказалось ни одного математика. Все дружно принялись за работу, и новички в том числе.
6. Грамматическая категория, показывающая, об одном или о большем числе предметов идет речь (грам.). Единственное число. Двойственное число (указывает на два предмета). Множественное число (указывает на число предметов больше одного или, в языках, имеющих формы двойственного числа, - на число предметов больше двух). Изменяться в роде, числе и падеже.
• Без числа - в очень большом количестве, в бесчисленном множестве. «У нас же дорога большая была: рабочего звания люди сновали по ней без числа.» Некрасов. |
| Толковый словарь Ефремовой |
[число]
1. ср.
1)
а) Понятие, при помощи которого выражается количество и ведется счет.
б) разг. Цифра, номер.
2)
а) День месяца в порядковом ряду других дней.
б) разг. Дата.
3)
а) Количество кого-л., чего-л., считаемое единицами.
б) разг. Количество лиц, составляющих какую-л. массу.
4) Совокупность кого-л., чего-л.
2. ср.
Грамматическая категория имени и глагола, выражающая системами форм - парадигмами - единичность или множественность предметов и лиц. |
| Философский энциклопедический словарь |
| ЧИСЛО – абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой-нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от другого того же рода. У всех народов имеется числовая символика (ср. Пифагор); счастливые числа (напр., 3), священные числа (напр., 3 и 7) и несчастливые числа (напр., 13). |
| Научнотехнический Энциклопедический Словарь |
| ЧИСЛО, символ, представляющий количество, используемый в расчетах и вычислениях. Все древние культуры создавали свои СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ для практических расчетов и измерений. Развитие идеи разрядов чисел и введение ноля в основную систему, содержащую 10 чисел, привело к знакомой нам ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, которой мы пользуемся по сегодняшний день. Эта система, судя по всему, пришла на запад из Индии в результате перевода с арабского математических трудов в XII в. В процессе обычного счета мы получаем натуральные числа. Эта идея может быть распространена и на определение ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, рациональных, действительных и комплексных чисел. Другие категории числа, такие как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА и совершенные числа, имеют отношение к разделу математики, называемому ТЕОРИЕЙ ЧИСЕЛ. |
|
|
|
 |
Если вы желаете блеснуть знаниями в беседе или привести аргумент в споре, то можете использовать ссылку:
будет выглядеть так: ЧИСЛО
будет выглядеть так: Что такое ЧИСЛО
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
|
